Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học

Hình học khơng gian cổ
điển trong các kỳ thi tuyển sinh đại học
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a, 3
2
aSD = . Hình 
chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính 
theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra ( )SH ABCD⊥ . 
Do đĩ: SH HD⊥ . Ta cĩ 
( )2 2 2 2 2SH SD DH SD AH AD a= − = − + = 
Suy ra 
3
.
1
. .
3 3S ABCD ABCD
aV SH S= = 
Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của H lên BD và E 
là hình chiếu vuơng gĩc của H lên SK. Ta cĩ 
( )BD HK BH SHK
BD SH
⊥
⇒ ⊥ ⊥
 Suy ra BD HE⊥ mà ( )HE SK HE SBD⊥ ⇒ ⊥ 
Ta cĩ: 
 2.sin
4
aHK HB KBH= = . Suy ra 
2 2
.
3
HS HK aHE
HS HK
= =
+
Do đĩ: ( )( ) ( )( ) 2; 2 ; 3 3
ad A SBD d H SBD HE= = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014 
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuơng gĩc của 
A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, gĩc giữa đường thẳng A’C và 
mặt phẳng đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và 
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của AB, ( )'A H ABC⊥ và 
 0' 60A CH = 
Do đĩ 
 3' . tan '
2
aA H CH A CH= = . Do đĩ thể tích khối lăng 
trụ là 
3
. ' ' '
3 3
8ABC A B C
aV = 
Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của H lên AC; K là hình 
chiếu vuơng gĩc của H lên A’I. Suy ra 
( )( ), ' 'HK d H ACC A= 
Ta cĩ: 
 3.sin
4
aHI AH IAH= = ; 2 2 2 2
1 1 1 52 3 13
' 9 26
aHK
HK HI HA a
= + = ⇒ = 
Do đĩ: ( )( ) ( )( ) 3 13; ' ' 2 ; ' ' 2 13
ad B ACC A d H ACC A HK= = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, mặt phẳng bên SBC là 
tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể 
tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra 
2 2
BC aAH = = 
( ) 3,
2
aSH ABC SH⊥ = và 
21
.
2 4ABC
aS BC AH∆ = = 
Thể tích của khối chĩp là 
3
.
1 3
.
3 24S ABC ABC
aV SH S∆= = 
Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của H lên SA, Suy 
ra HK SA⊥ . 
Ta cĩ ( )BC SAH BC HK⊥ ⇒ ⊥ 
Do đĩ: HK là đường vuơng gĩc chung của BC và SA. 
Ta cĩ 2 2 2 2
1 1 1 16
3HK SH AH a
= + = . Do đĩ: ( ) 3;
4
ad BC SA HK= = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, 
 030ABC = , SBC là tam giác đều cạnh a và 
mặt bên SBC vuơng gĩc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ 
điểm C đến mặt phẳng (SAB) 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH BC⊥ . Mà ( )SBC 
vuơng gĩc với ( )ABC theo giao tuyến BC, nên 
( )SH ABC⊥ 
Ta cĩ: 
0
0
3
; sin 30 ;
2 2
3
.cos30
2
a aBC a SH AC BC
aAB BC
= ⇒ = = =
= =
Do đĩ: 
3
.
1
. .
6 16S ABC
aV SH AB AC= = 
Tam giác ABC vuơng tại A và H là trung điểm của BC nên HA HB= . Mà ( )SH ABC⊥ , suy ra 
.SA SB a= = Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI AB⊥ 
Do đĩ: 
2
2 13
4 4
AB aSI SB= − = . Suy ra : ( )( ) . .3 6 39;
. 13
S ABC S ABC
SAB
V V ad C SAB
S SI AB∆
= = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Mặt SAB là tam giác đều và nằm 
trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và tính khoảng 
cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a. 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH vuơng gĩc với AB 
và 3
2
aSH = . 
Mà mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) 
theo giao tuyến AB, nên ( )SH ABCD⊥ . 
Do đĩ: 
3
.
1 3
.
3 6S ABCD ABCD
aV SH S= = 
Do AB song song với CD và H thuộc AB nên 
( )( ) ( )( ), ,d A SCD d H SCD= 
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuơng gĩc 
của H trên SK. Ta cĩ: HK CD⊥ . 
Mà SH CD⊥ ( )CD SHK⇒ ⊥ CD HI⊥ . Do đĩ: ( )HI SCD⊥ 
Suy ra: ( )( ),d A SCD
2 2
. 21
7
SH HK aHI
SH KH
= = =
+
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, 

 0120BAD = , M là trung điểm của cạnh BC và 
 045SMA = . Tính theo a thể tích của khối chĩp 
S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) 
Hướng dẫn giải 

 
0120BAD ABC ABC= ⇒ ⇒ ∆ đều 
33 3
2 2ABCD
a aAM S⇒ = ⇒ = 
SAM∆ vuơng tại A cĩ 
 045SMA SAM= ⇒ ∆ vuơng tại 
A 3
2
aSA AM= = 
Do đĩ: 
3
.
1
.
3 4S ABCD ABCD
aV SA S= = 
Do AD song song với BC nên ( )( ) ( )( ), ,d D SBC d A SBC= 
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SM 
Ta cĩ: ( )AM BC BC SAM
SA BC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
( ) ( )( ),BC AH AH SBC d A SBC AH⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Ta cĩ: ( )( )2 6 6,2 4 4
AM a aAH d D SBC= = ⇒ = 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2013 
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cĩ AB = a và đường thẳng A’B tạo với đáy một gĩc bằng 
600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của 
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và độ dài MN 
Hướng dẫn giải 
( ) 
' 'AA ABC A BA⊥ ⇒ là gĩc giữa A’B với đáy. 
Suy ra: 
 
0' 60 ' . tan ' 3A BA AA AB A BA a= ⇒ = = 
Do đĩ 
3
. ' ' '
3
'.
4ABC A B C ABC
aV AA S∆= = 
Gọi K là trung điểm của cạnh BC. 
Suy ra MNK∆ vuơng tại K, cĩ 
, ' 3
2 2
AB aMK NK AA a= = = = 
Do đĩ: 2 2 13
2
aMN MK NK= + = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt 
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho 2HA HB= . Gĩc giữa hai đường thẳng SC và mặt 
phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SA và BC theo a 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 
SCH là gĩc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra 

 060SCH = 
Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta cĩ: 3,
6 2
a aHD CD= = 
2 2 07 21
, . tan 60
3 3
a aHC HD CD SH HC= + = = = 
2 3
.
1 1 21 3 7
. . .
3 3 3 4 12S ABC ABC
a a aV SH S∆= = = 
Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu 
vuơng gĩc của H lên Ax và SN. Ta cĩ BC song song với mặt 
phẳng (SAN) và 3
2
BA HA= 
Nên ( ) ( )( ) ( )( )3, , .2d SA BC d B SAN d H SAN= = 
Ta cũng cĩ: ( )Ax SHN Ax HK⊥ ⇒ ⊥ . Do đĩ: ( ) ( )( ),HK SAN d H SAN HK⊥ ⇒ = 
0
2 2
2 3 . 42
, .sin 60 ,
3 3 12
a a SH HN aAH HN AH HK
SH HN
= = = = =
+
 vậy ( ) 42,
8
ad SA BC = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012 
Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC với 2SA a= , AB a= . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc 
của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuơng gĩc với mặt phẳng ( )ABH . Tính thể tích của 
khối chĩp S.ABH theo a 
Hướng dẫn giải 
Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác 
ABC. Ta cĩ AB CD
AB SO
⊥
 ⊥
 nên ( ) ,AB SCD⊥ Do đĩ AB SC⊥ 
Mặt khác SC AH⊥ , Suy ra ( )SC ABH⊥ 
Ta cĩ: 3
2
aCD = , 3
3
aOC = nên 2 2 33
3
aSO SC OC= − = 
Do đĩ: 
2
. 11 1 11
.
4 2 8ABH
SO CD a aDH S AB DH
SC ∆
= = ⇒ = = 
Ta cĩ: 2 2 7
4
aSH SC HC SC CD DH= − = − − = . Do đĩ: 
3
.
1 7 11
.
3 96S ABH ABH
aV SH S∆= = 
 Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012 
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình vuơng, tam giác A’AC vuơng cân 
'A C a= . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 
(BCD’) theo a 
Hướng dẫn giải 
Tam giác A’AC vuơng cân tại A và 'A C a= nên 
'
2
aA A AC= = . Do đĩ: ' '
2
aAB B C= = 
3
' ' '
1 1 2
' '. ' '. . '
3 6 48ABB C ABB
aV B C S B C AB BB∆= = = 
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta 
cĩ 
( )' 'AH A B AH A BC
AB BC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
. Nghĩa là : 
( ) ( )( )' , 'AH BCD AH d A BCD⊥ ⇒ = 
Ta cĩ: 2 2 2
1 1 1
'AH AB AA
= + Do đĩ: ( )( ) 6, ' 6
ad a BCD AH= = 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2012 
Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, 2,AB a SA SB SC= = = . 
Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC 
theo a. 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của BC HA HB HC⇒ = = 
Kết hợp với giả thiết 
,SA SB SC SH BC SHA SHB SHC= = ⇒ ⊥ ∆ = ∆ = 
( )

 060
SH ABC
SAH
⊥

=
Tam giác ABC là tam giác vuơng cân tại A. 
2 2AC AB a BC a AH a= = ⇒ = ⇒ = 
Tam giác SHA vuơng 
3
0
.
1 1 3
tan60 3 . . .
3 2 3S ABC
aSH AH a V AB AC SH= × = ⇒ = = 
Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC. Suy ra O 
thuộc đường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do đĩ: R là bán kính đường trịn 
ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác SHA ta cĩ: 0 2sin 60
SHSA a SBC= = ⇒ ∆ là tam giác đều 
cĩ độ dài cạnh bằng 2a. Suy ra : 0
2 2 3
2sin 60 3
a aR = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, 2 ;AB BC a= = hai mặt 
phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của 
AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết gĩc giữa hai mặt phẳng 
(SBC) và (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chĩp S.BCNM và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AB và SN theo a 
Hướng dẫn giải 
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng 
gĩc với (ABC) ( )SA ABC⇒ ⊥ . 

AB BC SB BC SBA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ là gĩc giữa hai 
mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng 
(ABC) 
 
060 . tan 2 3SBA SA AB SBA a⇒ = ⇒ = = 
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt 
AC tại N. //MN BC⇒ và N là trung điểm của 
AC. ;
2 2
BC ABMN a BM a= = = = 
Diện tích : ( ) 23
2 2BCNM
BC MN BM aS
+
= = . 
Thể tích 3
.
1
. 3
3S BCNM BCNM
V S SA a= = 
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N, song song với AB. Hạ ( ) ( )//AD D AB SND⊥ ∆ ∈ ∆ ⇒ 
( ) ( )( ) ( )( ); , ,d AB SN d AB SND d A SND⇒ = = . 
Hạ ( ) ( ) ( )( ),AH SD H SD AH SND d A SND AH⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Tam giác SAD vuơng tại A: AH SD
AD MN a
⊥

= =
 ( )
2 2
. 2 39
,
13
SA AD ad AB SN AH
SA AD
⇒ = = =
+
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011 
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, , 3AB A AD a= = . Hình 
chiếu vuơng gĩc của điểm A1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. 
Gĩc giữa hai mặt phẳng ( )1 1ADD A và (ABCD) bằng 060 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã 
cho và khoảng cách từ điển 1B đến mặt phẳng ( )1A BD theo a. 
Hướng dẫn giải 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. ( )1AO ABCD⇒ ⊥ 
Gọi E là trung điểm của AD 
1
OE AD
A E AD
⊥
⇒  ⊥
Suy ra 
1A EO là gĩc giữa hai mặt phẳng ( )1 1ADD A và (ABCD) 
 01 60A EO⇒ = 
Suy ra: 
 
1 1 1
3
. tan tan
2 2
AB aAO OE A EO A EO= = = 
Diện tích đáy 2. 3ABCDS AB AD a= = 
Thể tích 
3
. ' ' ' ' 1
3
2ABCD A B C D ABCD
aV S AO= × = 
Ta cĩ 
( )
( )( ) ( )( )
1 1 1 1
1 1 1
// //
, ,
B C A D B C A BD
d B A BD d C A BD CH
⇒
⇒ = =
Suy ra ( )( )1 1 2 2. 32
CD CB ad B A BD CH
CD CB
= = =
+
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, 3 , 4BA a BC a= = , mặt 
phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và 
 030 .SBC = Tính thể 
tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Hướng dẫn giải 
Hạ 
( ) ( )

; .sin 3
SH BC SBC ABC
SH BC SH SB SBC a
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥ = =
Diện tích: 212 . 6ABCS BA BC a= = 
Thể tích 3
.
1
. 2 3
3S ABC ABC
V S SH a= = 
Hạ 
( ) ( )
( ) ( )( )


( )( ) ( )
,
, .
.cos 3 4
, 4 ,
HD AC D AC HK SD K SD
HK SAC HK d H SAC
BH SB SBC a BC HC
d B SAC d H SAC
⊥ ∈ ⊥ ∈
⇒ ⊥ ⇒ =
= = ⇒ =
⇒ =
Ta cĩ 2 2 35 ; .
5
HC aAC BA BC a HC BC BH a HD BA
AC
= + = = − = ⇒ = = 
2 2
. 3 7
14
SH HD aHK
SH HD
= =
+
 . 
Vậy ( )( ) 6 7, 4
7
ad B SAC HK= = 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2011 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AB = a, SA vuơng gĩc với 
mặt phẳng (ABC), gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 030 . Gọi M là trung điểm 
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chĩp S.ABM theo a 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ SA BC SB BC
AB BC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
Do đĩ: gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và 
(ABC) bằng 
 030SBA = 
. .
1 1
. .
2 12S ABM S ABC
V V SA AB BC= = 
0 3; . tan 30
3
aBC AB a SA AB= = = = 
Vậy 
3
.
3
36S ABM
aV = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của N và DM. Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng 
(ABCD) và 3SH a= . Tính thể tích của khối chĩp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường 
thằng DM và SC theo a. 
Hướng dẫn giải 
Thể tích của khối chĩp S.CDNM 
2
2 2 2
2
1 1
. .
2 2
5
8 4 8
CDNM ABCD AMNS S S SBC
AB AM AN BC BM
a a a
a
= − −
= − −
= − − =
Vậy 
31 5 3
.
3 24SCDNM CDNM
aV S SH= = 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. 

 
ADM DCN ADM DCN DM CN∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ kết hợp với điều kiện 
( )DM SH DM SHC⊥ ⇒ ⊥ 
Hạ ( )HK SC K SC HK⊥ ∈ ⇒ là đoạn vuơng gĩc chung của DM và SC. 
Do đĩ: ( ),d DM SC HK= 
Ta cĩ : ( )
2
2 2
2
5 2 3
,
19. 2 3
19
CD aHC
CN ad DM SC
SH HC aHK
SH HC

= =

⇒ =

= =
 +
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: 
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ AB a= , gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và 
(ABC) bằng 060 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã 
cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 
Hướng dẫn giải 
Thể tích khối lăng trụ. 
Gọi D là trung điểm của BC ta cĩ: 

 0
' ' 60BC AD BC A D ADA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Ta cĩ: 

23 3
' . tan ' ;
2 4ABC
a aAA AD ADA S= = = 
Do đĩ: 
3
. ' ' '
3 3
'
8ABC A B C ABC
aV S AA= × = 
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC 
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: 
( )// ' //GH AA GH ABC⇒ 
Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
GABC, ta cĩ I là giao điểm của GH với đường 
trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH. 
Gọi E là trung điểm của AG, ta cĩ: 
2
.
2
GE GA GAR GI
GH GH
= = = 
Ta cĩ 
2
2 2 2' 3 7; ;
3 2 3 12
AA a a aGH AH GA GH AH= = = = + = 
Do đĩ: 
27 2 7
2.12 12
a aR
a
= × = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu 
vuơng gĩc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 
4
ACAH = . Gọi 
CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích 
của khối tứ diện SMBC theo a 
Hướng dẫn giải 
Chứng minh M là trung điểm của SA. 
2 22 14;
4 4
a aAH SH SA AH= = − = 
2 23 2 ; 2
4
aHC SC SH HC a SC AC= = + = ⇒ = 
Do đĩ: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung điểm 
của SA 
Tính thể tích của khối tứ diện SBCM. 
M là trung điểm của SA suy ra 
. .
1 1
2 2SCM SCA SBCM B SCA S ABC
S S V V V= ⇒ = = 
31 14
6 48SBCM ABC
aV S SH⇒ = × = 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2010 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc 
với mặt phẳng đáy, SA = SB, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 045 . Tính 
thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a. 
Hướng dẫn giải 
Gọi I là trung điểm của AB. Ta cĩ 
.SA SB SI AB= ⇒ ⊥ Mà hai mặt phẳng 
(SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuơng gĩc 
với nhau nên suy ra ( )SI ABCD⊥ 
Gĩc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng 

 045SCI = , Suy ra 
2 2 5
2
aSI IC IB BC= = + = 
Thể tích của khối chĩp là 
3
.
1 5
.
3 6S ABCD ABCD
aV SI S= = (đơn vị thể tích) 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; 2AB AD a= = , CD a= ; 
gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai 
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chĩp 
S.ABCD theo a 
Hướng dẫn giải 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
SIB ABCD
SI ABCD
SIC ABCD
⊥
⇒ ⊥ ⊥
Kẻ 
( ) ( ) 
 060IK BC K BC BC SIK SKI⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Diện tích hình thang ABCD : 23ABCDS a= 
Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI 
bằng 
23
2
a
, suy ra 
23
2IBC
aS∆ = 
( ) 
2 2 2 3 5 3 155 . tan
5 5
IBCS a aBC AB CD AD a IK SI IK SKI
BC
∆
= − + = ⇒ = = ⇒ = = 
Thể tích của khối chĩp S.ABCD: 
31 3 15
.
3 5ABCD
aV S SI= = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: 
Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ 'BB a= , gĩc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng 
(ABC) bằng 060 ; tam giác ABC vuơng tại C và 
 060BAC = . Hình chiếu vuơng gĩc của B’ lên 
mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC 
theo a 
Hướng dẫn giải 
Gọi D là trung điểm của AC và G là trọng 
tâm của tam giác ABC ta cĩ 
( ) 
 0' ' 60B G ABC B BG⊥ ⇒ = 

 3
' '.sin ' 32
4
2
aB G BB B BG
aBD
aBG

= =
⇒ =

=

Tam giác ABC cĩ: 
3
,
2 2 4
B AB ABBC AC CDΑ= = ⇒ = 
Ta lại cĩ: 
2 2 2 2
2 2 2 3 9 3 13 9 3;
4 16 16 26 104ABC
AB AB a a aBC CD BD AB S∆+ = ⇒ + = ⇒ = = 
Thể tích của khối tứ diện A’ABC: 
3
' '
1 9
' .
3 208A ABC B ABC ABC
aV V B G S∆= = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009: 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, 
; ' 2 ; ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và 
A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 
(IBC) 
Hướng dẫn giải 
Hạ ( ) ( )IH AC H AC IH ABC⊥ ∈ ⇒ ⊥ ; IH là đường 
cao của tứ diện IABC. 
Suy ra 2 2 4// ' '
' ' 3 3 3
IH CI aIH AA IH AA
AA CA
⇒ = = ⇒ = = 
2 2 2
' ' 5; 2AC A C A A a BC AC AB a= − = = − = 
Diện tích tam giác ABC: 21 .
2ABC
S AB BC a∆ = = 
Vậy thể tích của khối tứ diện IABC: 
31 4
.
3 9ABC
aV IH S∆= = 
Hạ ( )' 'AK A B K A B⊥ ∈ . Vì ( )' 'BC ABB A⊥ nên AK BC⊥ Suy ra ( )AK IBC⊥ 
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là AK 
'
2 2
2 '. 2 5
' 5'
AA BS AA AB aAK
A B A A AB
∆
= = =
+
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2009: 
Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ , 2.AB a SA a= = Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm 
của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với đường thẳng 
SP. Thính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ MN song song với CD và SP vuơng gĩc với 
CD suy ra MN vuơng gĩc với SP 
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta cĩ : 
2 2 6
2
aSO SA OA= − = 
3
2
.
1 1 1 1 6
. .
4 8 8 3 48AMNP ABSP S ABCD
aV V V SO AB= = = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008: 
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại 
A, , 3AB a AC a= = và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm 
của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chĩp A’.ABC và tính cosin của gĩc giữa hai đường 
thẳng AA’, B’C’ 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Suy ra 
( )
2 2
'
1 1 3
2 2
A H ABC
AH BC a a a
⊥


= = + =

Do đĩ: 2 2 2 2 2' ' 3 3 ' 3A H A A AH a a A H a= − = = ⇒ = 
Vậy 
3
'.
1
'
3 2A ABC ABC
aV A H S∆= × = (đơn vị thể tích) 
Trong tam giác vuơng A’B’H cĩ: 
2 2
' ' ' ' 2HB A B A H a= + = nên tam giác B’BH cân tại 
B’ 
ðặt ϕ là gĩc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì 
'B BHϕ = . Vậy 1cos
2.2 4
a
a
ϕ = = 
Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008: 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA a= , 3SB a= và mặt phẳng 
(SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. 
Tính theo a thể tích của khối chĩp S.BMDN và tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM và 
DN. 
Hướng dẫn giải 
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của S lên AB, suy ra ( )SH ABCD⊥ . Do đĩ, SH là đường cao 
của hình chĩp S.BMDN 
Ta cĩ: 2 2 2 2 23SA SB a a AB+ = + = nên tam giác SAB là tam giác vuơng tại S. Suy ra 
.
2
ABSM a= = Do đĩ tam giác SAM là tam giác đều, suy ra 3
2
aSH = 
Diện tích của tứ giác BMDN là 21 2
2BMDN ABCD
S S a= = 
Thể tích của khối chĩp S.BMDN là 
31 3
3 3BMDN
aV SH S= × = (đvtt) 
Kẻ ME song song với DN ( )E AD∈ 
Suy ra 
2
aAE = . ðặt α là gĩc giữa hai đường thẳng 
SM và DN. Ta cĩ ( )
,SM ME α= . Theo định lý ba 
đường vuơng gĩc ta cĩ : SA AE⊥ 
Suy ra: 
2 2 5
,
2
aSE SA AE= + = 2 2 5
2
aME AM AE= + = 
Tam giác SME là tam giác cân tại E nên 


52cos
55
2
SME
a
a
α
α
 =



= =


Trích từ đề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008: 
Cho lăng