Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn năm học 2004 – 2005 môn thi: Toán (lớp chuyên toán)

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ..........................................1.............................................................Bùi Văn Chi 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN 
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 Năm học 2004 – 2005 
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên toán) 
 Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) 
 Ngày thi: 15 – 07 – 2004 
Bài 1 (1,5 điểm) 
 Giải phương trình: 1 14 6 0x x
x x
 
+ − + + = 
 
Bài 2 (2 điểm) 
 Xác định các hệ số a và b để đa thức: 
 x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác. 
Bài 3 (2,5 điểm) 
 Cho 1 1 11
2 3 100
S= + + + +⋯ 
Chứng minh S không phải là số tự nhiên. 
Bài 4 (2,5 điểm) 
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự 
là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn 
vuông góc với ON. Định vị trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ 
nhất. 
Bài 5 (1,5 điểm) 
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền: 
loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 
em. 
Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc? 
Ghi chú: Bài 4 thiếu điều kiện AD ≥ AB/2. 
 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ..........................................2.............................................................Bùi Văn Chi 
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN 
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH 
Năm học : 2004 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 2004 
Thời gian làm bài : 150 phút 
Bài 1 (1,5 điểm) 
 Giải phương trình: 1 14 6 0x x
x x
 
+ − + + = 
 
 (1) (Điều kiện x > 0) 
Đặt 1t x
x
= + ( t ≥ 2) ⇒ 2 21 12 2t x x t
x x
= + + ⇔ + = − . 
Phương trình (1) viết lại: 
(1) ⇔ t2 – 2 – 4t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ 1 2x
x
+ = ⇔ x = 1 
Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 1. 
Bài 2 (2 điểm) 
Theo điều kiện bài toán, ta có: 
x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = (x2 + cx + 1)2 
⇔ x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = x4 + 2cx3 + (2 + c2)x2 + 2cx + 1 
⇔ 2
2 6 3
2 11
2 6
c c
c a a
b c b
= − = −
 
+ = ⇔ = 
 
= = −
Vậy a = 11, b = -6, khi đó x4 – 6x3 + 11x2 -6x + 1 = (x2 -3x + 1)2 
Bài 3 (2,5 điểm) 
 Chứng minh 1 1 11
2 3 100
S= + + + +⋯ không là số tự nhiên 
Trước hết ta chứng minh k = 1 1
1n n
+
+
là số vô tỉ, ∀ n ∈ N* 
Ta có: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, ∀n ∈ N* 
⇒ n(n + 1) không chính phương ⇒ ( 1)n n+ là số vô tỉ dương. 
Ta chứng minh bằng phản chứng: 
Giả sử 1 1
1n n
+
+
= k là số hữu tỉ. 
Suy ra 1 ( 1)n n k n n+ + = + ⇒ 2n + 1 + 2 ( 1)n n+ = k2n(n + 1) (1) (n ∈ N*) 
Vì 2 ( 1)n n+ là số vô tỉ ⇒ vế trái (1) là số vô tỉ, còn vế phải(1) là số hữu tỉ: vô lý. 
Do đó k = 1 1
1n n
+
+
là số vô tỉ dương, ∀ n ∈ N* 
Suy ra 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 99 100
S
    
= + + + + + +    
     
⋯ là số vô tỉ dương. 
Vậy S không là số tự nhiên. 
 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ..........................................3.............................................................Bùi Văn Chi 
Bài 4 (2,5 điểm) 
Định vị trí của M, N để tam giác OMN có điện tích nhỏ nhất 
Đặt OA = OB = a, AM = x, BN = y 
(a, x, y > 0) 
Gọi I là trung điểm của MN. 
Ta có: OI = (x + y)/2 
(đường trung bình của hình thang ABNM) 
Mặt khác ∆ OMN vuông tại O, có OI = MN/2 
⇒ MN = x + y (1) 
Aùp dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông: 
OM2 = OA2 + AM2 = a2 + x2 (2) 
ON2 = OB2 + BN2 = a2 + y2 (3) 
MN2 = OM2 + ON2 (4) 
Từ (1), (2), (3), (4) 
⇒ (x + y)2 = 2a2 + x2 + y2 ⇒ xy = a2 (1) 
Ta có: 
SOMN = SABNM – (SAOM +SBON) 
 = ( )2 ( )
2 2 2 2
x y a ax ay a x y+ + 
− + = 
 
Vì x + y ≥ 22 2 2xy a a= = (x, y > 0) 
Nên: SOMN ≥ 2
.2
2
a a
a= . 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = a. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của SOMN là a2 khi AM = BN = a = OA = OB = AB/2. 
(Điều kiện để tồn tại giá trị nhỏ nhất của SOMN là AD ≥ AO ⇒ AD ≥ AB/2). 
Bài 5 (1,5 điểm) 
Gọi x là số thuyền chở 5 người, y là số thuyền chở 7 người. 
(x, y ∈ N, 0 < x ≤ 10, 0 < y ≤ 7) 
Ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1) 
Từ (1) ⇒ 7y ⋮ 5 ⇒ y ⋮ 5 , kết hợp với điều kiện của y ⇒ y = 5 
Thay y = 5 vào (1) ⇒ x = 3 . 
Vậy có 3 thuyền loại chở 5 người, có 5 thuyền loại chở 7 người . 
Ghi chú: Có thể chứng minh (1) bằng cách dùng ∆ AOM ∆ BNO 
S
A O B
N
I
M
 x
 y
 a a