Đề thi trung học phổ thông quốc gia môn thi: Toán - Đề 68

99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 1 
ĐỀ THI THỬ 
SỐ 68 
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 
 Môn thi: TOÁN. Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1. (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:  y x x3 23 . 
Câu 2. (1,0 điểm). Cho hàm số         y m x m x x2 3 21 1 1 3 53 . Tìm m 
để hàm số có hai điểm cực trị. 
Câu 3. (1,0 điểm). 
a, Giải phương trình sau:       log x log x22 23 3 3 . 
b, Cho số phức z thỏa mãn:   z i.z i2 2 5 . Tính modun của số phức 
 w z z2 . 
Câu 4. (1,0 điểm). Tính tích phân sau   I x x lnx dx
2
1
2 
Câu 5. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 
d và mặt phẳng (P) có phương trình 
 
 

yx zd : 21 5
2 3 4
; 
     P : x y z2 2 1 0 . Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt 
phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách (P) 
một khoảng bằng 2
3
. 
Câu 6. (1,0 điểm). 
a, Cho góc  thỏa mãn    
2
 và  sin 4
5
. Tính 



tanA
sin
1
2
. 
b, Đoàn trường THPT Kim Trọng thành lập 3 nhóm học sinh mỗi nhóm có 
4 học sinh để chăm sóc 3 bồn hoa của nhà trường, mỗi nhóm được chọn từ 
đội xung kích nhà trường gồm 4 học sinh khối 10, 4 học sinh khối 11 và 4 
học sinh khối 12. Tính xác suất để mỗi nhóm phải có mặt học sinh khối 12. 
Câu 7. (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
a, tam giác SAD cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD). Gọi M là trung điểm của CD; H là hình chiếu vuông góc của D 
trên SM; Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a. 
Câu 8. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông 
ABCD có điểm  C ;2 2 . Gọi điểm I, K lần lượt là trung điểm của DA và 
DC;   M ;1 1 là giao của BI và AK. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình 
vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương. 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 2 
Câu 9. (1,0 điểm). Giải bất phương trình sau:     
  
x x x
x x
2
2
1 2 2 3 1 1
1 2 1
Câu 10. (1,0 điểm). Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn   a b c 3 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
     
  
        
a b cP
b c c a a b
2 2 2
2 2 23 3 38 1 8 1 8 1
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ SỐ 68 
Câu 1. (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:  y x x3 23 . 
 Bài giải: 
+) Tập xác định: D = R 
+) Giới hạn: 

 
x
lim y 
Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 
 
     
x
y' x x , y'
x
2 03 6 0
2
+) Bảng biến thiên: 
+) Hàm số đạt cực đại tại  CĐ CĐx ; y .0 0 
Hàm số đạt cực tiểu tại   CT CTx ; y .2 4 
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;0 và  ;2 . 
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 2 . 
+) Đồ thị: 
y 
x 
'y 
  0 
0  
4  
  
 2 
0 0  
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 3 
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
Câu 2. (1,0 điểm). Cho hàm số         y m x m x x2 3 21 1 1 3 53 . Tìm m 
để hàm số có hai điểm cực trị. 
 Bài giải: 
Tập xác định:  D 
Đạo hàm:        y' m x m x2 21 2 1 3 
y' 0         m x m x2 21 2 1 3 0 
Hàm số có hai điểm cực trị  y' 0 có hai nghiệm phân biệt 
   
        
         
      
       
m m
m m' m m
m m
.
m m
2
2 22
1 0 1
2 2 4 01 3 1 0
1 1
1 2 1 2
Vậy giá trị m cần tìm là 
 

  
m
m
1
1 2
. 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. Cho hàm số     y x x mx m3 23 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm 
cực trị. 
Bài 2. Cho hàm số          y x m x m m x3 2 22 1 4 3 13 . Tìm m để hàm 
số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ 
dương. 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 4 
Bài 3. Cho hàm số         y x m x m x3 21 3 4 5 . Tìm m để hàm số đạt 
cực tiểu tại x 1 . 
Bài 4. Cho hàm số         y x m x m x3 22 3 1 6 2 1 . Tìm m để hàm số có 
hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho  x x1 2 2 . 
Bài 5. Cho hàm số        y x x m x m3 2 2 23 3 1 3 1 . Tìm m để hàm số có 
cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ 
O . 
 Đáp số: 
1, m 3 2,    m5 3 3, m 3 4,  m 1 5,  m 1
2
Câu 3a. (0,5 điểm). Giải phương trình sau:       log x log x22 23 3 3 . 
 Bài giải: 
Điều kiện x 3 . Ta có         PT log x log x22 23 2 3 3 0 
 
 
     
    
xlog x
xlog x
2
2
53 1
253 3
8
 (Thỏa mãn điều kiện) 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 5 và x 25
8
. 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Thi thử THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) 
Giải phương trình:        log x x log x log x224 4 42 3 1 2 4 
Bài 2. (Thi thử THPT Mỹ Đức A – Hà Nội) 
Giải phương trình:          log x log x log x22 4 1
2
2 2 3 1 5 4 . 
Bài 3. (Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) 
Giải phương trình:          log x log x log x29 3 31 4 4 . 
Bài 4. (Thi thử THPT Minh Khai – Hà Tĩnh) 
Giải phương trình:        log x x log x2 377 2 5 2 1 . 
Bài 5. (Thi thử THPT Chuyên Đại Học Vinh – Nghệ An) 
Giải bất phương trình:        log x log x .42 1
2
1 2 4 18 0
2
 Đáp số: 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 5 
1, x 3 2,  x , x 15 172
4
 3,    x , x1 61 1 69
2 2
4,  x 5 33 5,    S ;2 2 
 Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
Bài 4. Điều kiện:  x 1 . 
Phương trình tương đương với    x x x2 32 5 7 1 
              x x x x x x2 22 1 3 1 7 1 1 
   
   
 
x x x x
x x
2 21 12 7 3 0
1 1
Đặt 
 
 

x xt ;
x
t . 
2 1
1
0 
Phương trình trở thành:   t t22 7 3 0
 

 

t
t
3
1
2
+ Với t 3 :          

x x x x x
x
2
21 3 10 8 0 5 33
1
(thỏa mãn) 
+ Với t 1
2
:       

x x x x
x
2
21 1 4 5 3 0
1 2
 (vô nghiệm) 
Vậy phương trình có hai nghiệm  x 5 33 . 
Bài 5. 
Điều kiện: 
    
   
  
x , x
x .
x4
2 0 18 0
2 18
4 18 0
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 
     log x log x42 22 4 18     x x42 4 18 . 
Đặt  t x .4 18 Khi đó  t 40 20 
và bất phương trình trở thành:   t t420 4 
 
       
       
t t
t t tt t
2 4 24
4 0 4
8 4 020 4
  
               
t t
t .
t t t t t3 2
4 4
2 4
2 2 5 2 0 2 0
Suy ra:    x x .4 18 2 2 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 6 
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:   x .2 2 
Câu 3b. (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn:   z i.z i2 2 5 . Tính modun 
của số phức  w z z2 . 
 Bài giải: 
Đặt       z a bi z a bi a,b R 
Ta có :            z i.z i a bi i a bi i2 2 5 2 2 5 
                 
     
a b a
a b a b i i
a b b
2 2 3
2 2 2 5
2 5 4
 . Suy ra  z i3 4 . 
           w i i i w23 4 3 4 4 28 20 2 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Thi thử THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) 
Tính môđun của số phức z biết        i z z i i1 2 1 2 1 3 . 
Bài 2. (Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) 
Tính môđun của số phức z biết  z i z3 12 và z có phần thực dương. 
Bài 3. (Thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh) 
Tính môđun của số phức z – i 2 biết      z i z i iz2 2 4 0 . 
Bài 4. (Thi thử THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) 
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:      z z i iz
2 2
1 1 . Tính môđun của 
 

w z
z
4
1
. 
Bài 5. (Thi thử THPT Nguyễn Văn Cừ - Bắc Ninh) 
Tính mođun của số phức  w b ci  b,c R , biết số phức    
 
  

i i
i
8
7
1 1 2
1
là nghiệm của phương trình   z bz c2 0 . 
 Đáp số: 
1, 85 2, 5 3, 2 2 4, , 53017
10
 5, 2 34 
Câu 4. (1,0 điểm). Tính tích phân sau   I x x lnx dx
2
1
2 
 Bài giải: 
Ta có       I x x lnx dx x dx xlnxdx
2 22 2
1
1 1
2 2 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 7 
Tính   
xI x dx
232 2
1 1
1
2 142
3 3
Tính  I x lnxdx
2
2 1
. Đặt 

  
 
  
dxduu lnx x
dv xdx xv
2
2
     
x lnx x xI dx ln ln
22 22 2
2 1
1 1
32 2 2 2
2 2 4 4
       I I I ln ln1 2
14 3 652 2 2 2
3 4 12
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Thi THPT Quốc Gia 2015 – Đề Chính Thức) 
Tính tích phân:    xI x e dx
1
0
3 
Bài 2. (Thi thử THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) 
Tính tích phân: 
      


x x x ln x
I dx
x
2 21
0
2 1 1
1
Bài 3. (Thi thử THPT Nguyễn Văn Cừ - Hà Nội) 
Tính tích phân: 


 
ln
x x
xI dx
e e
2
0 2
Bài 4. (Thi thử THPT Trần Hưng Đạo) 
Tính tích phân: 


 
x sinxI dx
cos x
3
2
0
Bài 5. (Thi thử THPT Lương Ngọc Quyến) 
Tính tích phân:  

 I x sin x cos xdx
4
2
0
2 2 
 Đáp số: 1,  I e4 3 2,  I 1
2 2
 3,  I ln ln5 2 3
3
 4,   I ln1 2
3
 5,  I 1
8 12
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 8 
Câu 5. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 
và mặt phẳng (P) có phương trình   

yx zd : 21 5
2 3 4
; 
     P : x y z2 2 1 0 . Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt 
phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách (P) 
một khoảng bằng 2
3
. 
 Bài giải: 
Gọi       I t ; t ; t   d P1 2 2 3 5 4 . 
Vì I  (P) nên ta có                t t t t2 1 2 2 2 3 5 4 1 0 1 
  I ; ;1 1 1 . 
Vì (Q) // (P) gọi (Q) có dạng    x y z m2 2 0 
         
     
          
d P ; Q d I ; Q
m m
m
m
2 2
3 3
2 2 1 32 1 2
134 4 1
Vậy có 2 mặt phẳng (Q) cần tìm là    x y z2 2 3 0 và    x y z2 2 1 0 . 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Thi thử THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 
   (P) : x y z2 3 0 ; đường thẳng    

yx z: 11 2
2 1 3
 và điểm 
 A ; ;4 1 3 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), biết d cắt  
và khoảng cách từ A đến d bằng 2 . 
Bài 2. (Thi thử THPT Mỹ Đức A – Hà Nội) 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  M ; ;1 1 0 và mặt phẳng 
      P : x y z 3 0 . Gọi I là hình chiếu của M trên (P). Viết phương trình 
mặt phẳng (Q) đi qua I, gốc tọa độ O và cách điểm  
 
K ; ;2 1
17
2
 một 
khoảng bằng 17
3
. 
Bài 3. (Thi thử THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 9 
Trong không gian Oxyz, cho điểm   A ; ;1 2 1 , đường thẳng 

 

yx zd : 31
2 1 3
 và mặt phẳng      P : x y z3 5 4 0 . Viết phương trình 
đường thẳng đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt 
phẳng (P). 
Bài 4. (Thi thử THPT Nguyễn Văn Cừ – Hà Nội) 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
 
 

yx zd : 12 1
1 1 1
 và    yx z: 13 3
1 1 2
. Viết phương trình mặt 
phẳng (P) chứa d và tạo với  một góc .030 
Bài 5. (Thi thử THPT Nguyễn Văn Cừ – Hà Nội) 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng    (P) : x y z2 5 0 
và đường thẳng 
 
 
yx zd : .13 3
2 1 1
 Gọi d' là hình chiếu vuông góc của 
d lên (P) và E là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho 
EF vuông góc với d' và EF .5 3 
 Đáp số: 
1, đường thẳng        d: x t , y t , z t5 1 4 . 
2,        Q : x y z , x y z2 2 0 2 2 0 . 
3,      

yx z: 21 1
2 1 1
. 
4,           P : x y z , P : x y z .2 4 0 2 5 0 
5,      F ; ; , F , ,4 5 1 6 5 9 . 
Câu 6a. (0,5 điểm). Cho góc  thỏa mãn    
2
 và  sin 4
5
. Tính 




tanA
sin
1
2
. 
 Bài giải: 
a, Vì    
2
 nên   sin ; cos0 0 
ta có     sin cos cos x2 2 2 91
25
 , lại có  cosx 3
5
 ( vì  cos 0 ) 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 10 
Suy ra 

 
  
 
        
 
 
 
sin .
tan cosA
sin sin .cos . .
4 511 5 31 25
2 2 724 32
5 5
. 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Đề Dự Bị THPT Quốc Gia 2015) 
Tính giá trị biểu thức:   P sin cos4 4 , biết  sin 22
3
Bài 2. (Đề Chính Thức THPT Quốc Gia 2015) 
Tính giá trị biểu thức:      P cos cos1 3 2 2 3 2 , biết  sin 2
3
Bài 3. (Thi thử lần 9 – Báo Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 6/2015) 
Cho góc  thoả mãn  cot 1
3
. Tính giá trị biểu thức: 
   

 
T
sin sin .cos cos2 2
2015 . 
Bài 4. Cho góc  thoả mãn  0
2
 và  sin .1
2
 Tính    
 
A tan
4
. 
Bài 5. Cho góc  thoả mãn    
2
và  sin .3
5
 Tính 



tanA .
tan21
 Đáp số: 
1, P 14
9
 2, P 7
9
 3, T 4320 4,  A 2 3 5,  A 12
25
Câu 6b. (0,5 điểm). Đoàn trường THPT Kim Trọng thành lập 3 nhóm học 
sinh mỗi nhóm có 4 học sinh để chăm sóc 3 bồn hoa của nhà trường, mỗi 
nhóm được chọn từ đội xung kích nhà trường gồm 4 học sinh khối 10, 4 
học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12. Tính xác suất để mỗi nhóm phải có 
mặt học sinh khối 12. 
 Bài giải: 
Gọi  là không gian mẫu: " Chọn 3 nhóm học sinh mỗi nhóm có 4 học sinh 
được lấy từ 12 học sinh trong đội xung kích Đoàn trường". 
  n C .C .C4 4 412 8 4 
Gọi A là biến cố: " mỗi nhóm phải có mặt học sinh khối 12" 
        n A . C .C . C .C . C .C1 3 1 3 2 24 8 3 5 2 23 
    
     

  
. C .C . C .C . C .Cn A
P A
n C .C .C
1 3 1 3 2 2
4 8 3 5 2 2
4 4 4
12 8 4
3
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 11 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Thi thử THPT Trần Quốc Đại 2015) 
Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 
học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam 
và nữ. 
Bài 2. (Thi thử THPT Lý Thường Kiệt 2015) 
Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu 
nhiên 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi 
có cả nam và nữ. 
Bài 3. (Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu 2015) 
Một đội tuyển học sinh giỏi có 18 em, trong đó có 7 em học sinh lớp 12, có 6 
em học sinh lớp 11 và 5 em học sinh lớp 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 em 
học sinh đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. 
Bài 4. (Thi thử THPT Trần Đại Nghĩa 2015) 
Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 10 phòng thi gồm 
6 phòng mỗi phòng có 24 thí sinh và 4 phòng mỗi phòng có 25 thí sinh. Sau 
1 buổi thi, 1 phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong số 
các thí sinh đã dự thi buổi đó để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để 
phỏng vấn của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất để trong 10 thí sinh 
được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phòng thi. 
Bài 5. (Thi thử THPT Lê Quý Đôn 2015) 
Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn 
trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh 
tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. 
Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật 
lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của 
trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn 
Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. 
 Đáp số: 
1, P 9
11
 2, P 443
506
 3,    C C C C8 8 8 818 13 12 11 
4,  .P
C
6 4
10
244
24 25 5, P 120
247
Câu 7. (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
a, tam giác SAD cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD). Gọi M là trung điểm của CD; H là hình chiếu vuông góc của D 
trên SM; Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a. 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 12 
 Bài giải: 
Gọi I, J lần lượt là trung điểm 
của AD và BC. 
Vì (SAD)  (ABCD) nên 
SI  (ABCD). 
ta có IJ  BC và SI  BC suy 
ra góc giữa (SBC) và (ABCD là 
  oSJI 60 . IJ a. 
Trong tam giác vuông SIJ ta có 
 oSI IJ. tan .a 60 3 
  SJ SI IJ a2 2 2 . 
Diện tích đáy là ABCDS a
2 . 
Thể tích khối chóp S.ABCD là   ABS. CABCD DV
aSI.S a .a
3
21 1 33
3 3 3
 (đvtt) 
Chứng minh CD  (SAD). Trong tam giác vuông SDM có:  SH SD
SM SM
2
2
13
14
Ta có  SHBC
SMBC
V SH
V SM
13
14
. 
    SMBC BCM SHBC
a a aV .SI.S V .
3 3 31 3 13 3 13 3
3 12 14 12 168
 . 
Lại có    SBCS .BC.SJ a. a a
21 1 2
2 2
 

   SHBC
SBC
a..V ad H,(SBC)
S a
3
2
13 333 13 3168
56
. 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Đại học khối B – 2013) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo 
a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt 
phẳng (SCD). 
Bài 2. (Đại Học khối A – 2014) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD a3
2
, hình 
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. 
J 
M
I 
C 
A B
D
S
H
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 13 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt 
phẳng (SBD). 
Bài 3. (Thi THPT Quốc Gia 2015) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc 
mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 
45 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SB, AC. 
Bài 4. (Thi thử THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA 
vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là 
trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 
hai đường thẳng DE, SC theo a . 
Bài 5. (Thi thử THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hoá) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu H của S 
lên mặt phẳng (ABCD) nằm trên AB (H nằm giữa A và B) sao cho 
AH AB1
4
. Biết SB a 13 , góc giữa SC và mặt đáy là 30 . Tính thể tích 
của hình chóp S.AHCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 
chóp S.HBCE với E CD và HE / /AD . 
 Đáp số: 
1,  a aV , d
3 3 21
6 7
 2,  a aV , d
3 2
3 3
 3,  aV , d a
3 2 2
3 3
4,  a aV , d
3 2 38
3 19
 5,  a aV , R
325 5
4 2
 Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: 
Bài 4. 
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 14 
M H
I
E C
A
D
B
S
K
T
Vì      

CB AB
CB SAB
CB SA
 SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) 
        SC, SAB SC,SB CSB 030     SB BC.cot a SA a030 3 2 . 
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 
  S.ABCD ABCD
aV SA.S a .a (dvtt)
3
21 1 22
3 3 3
. 
+ Từ C dựng CI // DE    aCE DI
2
 và  DE / / SCI 
     d DE,SC d DE, CSI 
Từ A kẻ AK CI cắt ED tại H, cắt CI tại K. 
Ta có:           

SA CI
CI SAK SCI SAK
AK CI
 theo giao tuyến SK 
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ  HT AK HT SCI   
      d DE,SC d H, SCI HT . 
+ Ta có:      
 
  
 
ACI
a. aCD.AI aS AK.CI CD.AI AK
CI aa
2
2
3
1 1 32
2 2 5
2
Kẻ KM // AD ,        HK KM aM ED HK AK
HA AD
1 1
2 3 5
99 đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia – Facebook: Kim Trọng 
 15 
Lại có:       

aa .
SA HT SA.HKsinSKA HT
SK HK SK aa
2
2
2
385
1992
5
Vậy   d ED,SC 3819 . 
Bài 5. 
J
D C
A B
S
H
E
I
Gọi cạnh của hình vuông là x 
 
    
  
x x xBH HC x
xSH HC.tan .
2
2
0
3 9 5
4 16 4
5 330 1
4 3
Mặt khác: 
 
 
 
SH SB HB
xa
2 2
2
2 913 2
16
Từ (1) và (2) suy ra: 
 
   
x xa
x a x a.
2 2
2
2 2
25 913
48 16
12 2 3
 
aSH .5
2

 SAHCD AHDC
AH CDV SH.S SH. AD1 1
3 3 2
. 

 
a aa a. . . a
3
3 2 31 5 252 2 3
3 2 2 4
. 
Gọi I l