Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường Thcs Nghĩa Thắng

TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 1/11/2015
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
Rút gọn P.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.
Bài 2: (4,5 điểm) 
Không dùng máy tính hãy so sánh : và 
Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 .
Giải phương trình: 
Bài 3: (4,0 điểm) 
Với Tính giá trị của biểu thức: B = .
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho 
 (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x.
Bài 4: (6,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: 
 Tam giác đồng dạng với tam giác; 
Chứng minh rằng :
Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1. 
Chứng minh rằng: .
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................
Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................
Giám thị không giải thích gì thêm
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG 
HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
 Hướng dẫn chấm này có 03 trang
Yêu cầu chung: 
Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
Yêu cầu cụ thể: 
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a.(2,0đ) Đk : 
Vậy , với 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b. (1,0đ) 
dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.
Vậy GTNN của P là khi .
0,25
0,5
0,25
(1,0đ).Với thì Q = > 0. (1)
Xét 
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện .
suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Vậy > >
0,5
0,75
0,25
Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 (1) 
Vì (2x - y)2 ; (y – z + 1)2 ; ( z - 3)2 với mọi x, y, z nên từ 
(1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
0,75
0,75
Đk: x > - 3.
 Khi đó phương trình đã cho tương đương với 
Vì x > - 3 nên 
Do đó 4x + 11 = 0 x = thỏa mãn điều kiện. 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: . 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
3
Ta có 
Do đó B = - 1. 
1,25
0,75
b. Dễ thấy . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
Từ (3y + 1) x 
Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. p < 3. Vậy p 
Với p = 1: x = 3y + 13x + 1 = 9y + 4 y 4y 
Mà y > 1 nên y
+ Với y = 2 thì x = 7.
+ Với y = 4 thì x = 13.
Với p = 2: 2x = 3y + 16x = 9y + 32(3x + 1) = 9y + 5
Vì 3x + 1y nên 9y + 5y suy ra 5y , mà y > 1 nên y = 5, 
suy ra x = 8.
Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng.
A
B
C
F
E
H
D
Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a. 
Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 
Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .
Suy ra = 
* Từ suy ra 
0,25
0,25
0,25
0,75
Tương tự câu a, 
Từ đó suy ra 
Suy ra 
0,5
0,75
0,25
Ta có: tanB = ,tanC = . Suy ra tanB.tanC = 
Vì AH = k.HD nên(1)
Do đó tanB.tanC = (2)
Lại có nên (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
tanB.tanC = 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Từ 
Tương tự: ; . Do đó: 
++=
Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*)
Áp dụng (*) ta có: 
Suy ra .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Với thì 36x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng là 5 nên :
A có chữ số tận cùng là 1 ( nếu 36x > 5y) hoặc 9 ( nếu 36x < 5y)
TH1: A = 1. khi đó 36x - 5y =1 36x - 1 = 5y . Điều này không xảy ra vì (36x – 1) 35 nên (36x – 1) 7, còn 5y không chia hết cho 7.
TH2: A = 9. Khi đó 5y - 36x = 9 5y = 9 + 36x điều này không xảy ra vì (9 + 36x) 9 còn còn 5y không chia hết cho 9.
TH3: A = 11. Khi đó 36x - 5y =11. Thấy x = 1, y = 2 thỏa mãn.
Vậy GTNN của A bằng 11+2004=2015, khi x = 1, y = 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
 Hết