Đề thi học sinh giỏi khối 6 năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán

Bài 1 (4,5 điểm) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau:
a. A = 22 5 1:5 .( 3)3 6 18  
b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015
c. 1 1 1 1C 1 1 1 ... 11.3 2.4 3.5 2014.2016
                   
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tỡm số tự nhiờn x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tỡm cỏc chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyờn tố lớn hơn 3 thỡ p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Cho biểu thức : 5 3B n  ( , 3)n Z n 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của n để B là số nguyờn.
b.Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 1002 viết trong hệ thập phõn cú bao nhiờu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho gúc xBy = 550. Trờn cỏc tia Bx; By lần lượt lấy cỏc điểm A; C
( A  B; C B). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300
a. Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b. Tớnh số đo của DBC .
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz= 900. Tớnh số đo ABz .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tỡm cỏc chữ số a, b, c khỏc 0 thỏa món: abbc ab ac 7  
b. Cho 2015 942012 921A (7 3 )2  . Chứng minh A là số tự nhiờn chia hết cho 5.
.............. Hết.............
Họ và tờn thớ sinh:............................................ SBD........................................
Giỏm thị 1:.................................................... Giỏm thị 2:..............................
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2014-2015
MễN THI: TOÁN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MễN : TOÁN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1
(4,5 đ)
a. A= 22 5 1:5 .( 3)3 6 18   =
2 1 1 2.2 1 1.3 2 1
3 6 2 6 6 3
      1,5 đ
b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015
=3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012
0,5 đ
1,0 đ
c. C= 1 1 1 11 1 1 ... 11.3 2.4 3.5 2014.2016
                  
2 2 2 22 3 4 2015. . ...1.3 2.4 3.5 2014.2016
(2.3.4...2015).(2.3.4...2015)
(1.2.3...2014).(3.4.5...2016)
2015.2
2016
2015
1008
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
2
(4,0 đ)
a. Biến đổi được: (x-3)2=144 2 212 ( 12)   3 12 153 12 9
x x
x x
          
Vỡ x là số tự nhiờn nờn x = -9 (loại). Vậy x = 15
1.0 đ
0.5 đ
b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nờn y = 1. Ta cú A = x1831
Vỡ A = x1831 chia cho 9 dư 1  x1831 - 1  9 x1830  9
 x + 1 + 8 + 3 + 0  9  x + 3  9, mà x là chữ số nờn x = 6
Vậy x = 6; y = 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c. Xột số nguyờn tố p khi chia cho 3.Ta cú: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( kN*)
Nếu p=3k+1 thỡ p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
Nếu p=3k+2 thỡ p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
3
(4,5 đ)
a. Để B nhận giỏ trị nguyờn thỡ n - 3 phải là ước của 5
=> n - 3 {-1;1;-5;5} => n{ -2 ; 2; 4; 8}
Đối chiếu đ/k ta được n{ -2 ; 2; 4; 8}
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
b. Với x = 2, ta cú: 22 + 117 = y2  y2 = 121  y = 11 (là số nguyờn tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyờn tố nờn x lẻ  y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyờn tố nờn y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
c. Ta cú : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) 0,5đ
Lại cú : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nờn : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phõn
cú 31 chữ số .
0,5đ
0,5đ
4
(5,0 đ)
A x
z
D
B C
y
z,
a) Vỡ D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C
=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
ta cú đẳng thức:   ABC ABD DBC 
=>   DBC ABC ABD  = 550 – 300 = 250
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c) Xột hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng cú bờ là
AB nờn tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD
Tớnh được  090ABz ABD  = 000 603090 
- Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cựng nửa mặt phẳng cú bờ là AB
nờn tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA
Tớnh được ,ABz = 900 + ABD = 000 1203090 
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
5
(2,0 đ)
a. Ta cú: abbc ab ac 7   (1)
 100.ab + bc = 7. ab . ac ab (7. ac - 100) = bc
 7. ac - 100 = bcab Vỡ 0 <
bc
ab < 10 nờn 0 < 7. ac - 100 < 10
 100 < 7. ac < 110  100 11014 ac 167 7    . Vậy ac = 15
thay vào (1) được 1bb5 1b 15 7    1005 + 110b = 1050 + 105.b
 5b = 45  b =9
Vậy a = 1; b = 9; c = 5
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b) Vì 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên 20152012 và 9492 cũng là bội của 4
    2015 * 96 *2012 4. ;92 4.   m m N n n N
Khi đó        2015 942012 92 4 4 4 47 3 7 3 7 3 ...1 ...1 ...0       m nm n
tức là 2015 942012 927 3 có tận cùng bằng 0 hay 2015 942012 927 3 10 
Dễ thấy 2015 942012 927 3 > 0 mà 2015 942012 927 3 10  suy ra
2015 942012 921A (7 3 ) 5.k; k N2    . Suy ra A là số tự nhiờn chia hết cho 5.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ