Đề thi học sinh giỏi huyện (tham khảo) môn toán năm học: 2014 - 2015 - Trường THCS Lưu Văn Mót

PHÒNG GD-ĐT VŨNG LIÊM
TRƯỜNG THCS LƯU VĂN MÓT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN (tham khảo)
MÔN TOÁN
NĂM HỌC : 2014 - 2015
Câu 1(2,0 điểm): Tìm x, y thuộc Z biết x – y + 2xy = 6
Câu 2(2,0 điểm): Cho đa thức f(x) =a2x3+3ax2-6x-2a. Xác định a sao cho f(x) chia hết cho x + 1
Câu 3(5,0 điểm): Giải các phương trình sau:
x2-4x+4+x=8	b) 3x+1=x+4+1
Câu 4(3,0 điểm): Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện a≥1, b≥1. Chứng minh rằng 
	2ab-1≤ab
Câu 5(2,0 điểm): Giải bất phương trình sau:
	x2-5x+10<4
Câu 6(5,0 điểm): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến(d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng Qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O từ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
Chứng minh tam giác NMP cân
Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất .
Câu 7(1,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại a, đường cao AH. Biết AB = 3, HC = 8. Tính độ dài BC.
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Câu 1: x – y + 2xy = 6 2x – 2y +4xy -1 = 11 (2x – 1)(2y + 1) = 11 	(1,0 điểm)
Tính được (x;y) = (6;0) hoặc (-5; -1)	(1,0 điểm)
Câu 2: Ta có f(x) = (x +1).H(x)
f(-1)= -a2+a+6 = 0	(1,0 điểm)
 Giải phương trình tìm được a = -2 hoặc a = 3	(1,0 điểm)
Câu 3: 
ĐK: x ≥-13	(0,5 điểm)
Bình phương 2 vế, thu gọn đươc kết quả: x – 2 = x+4 ; Đk: x ≥2	(1,0 điểm)
Tiếp tục bình phương 2 vế, ta có: x2 -5x = 0
Giải pt tìm được x = 0 (loại) hoặc x = 5(nhận)	(1,0 điểm)
Biến đổi phương trình được x-2=8-x	(1,0 điểm)
Giải phương trình tìm được x = 5	(1,5 điểm)
Câu 4: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm (b-1) và 1, ta có:
b-1.1≤b2 	(2,0 điểm)
Nhân cả 2 vế cho 2a, ta được điều cần chứng minh. 	(1,0 điểm)
Câu 5: Biến đổi bất phương trình, ta được
(x – 2)(x – 3) < 0	(1,0 điểm)
Giải tìm được 2 < x < 3	(1,0 điểm)
Câu 6: 
Chứng minh hai tam giác AOM và BOP bằng nhau (g.c.g)
Suy ra OM = OP
Và ON vuông góc với MP (gt)
Suy ra Tam giác NMP cân (Vì NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) ( 2,0 điểm)
Trong tam giác can NMP có NO là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác
Suy ra OI = OB = R ( Tính chất các điểm nằm trên phân giác của góc)
Có MN vuông góc với bán kính OI
Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). (2,0 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNB là hình thang vuông
Tính được Diện tích tứ giác AMNB = MN.R
MN nhỏ nhất khi MN // AB
Hay AMNB là hình chữ nhật
Suy ra SM = NB = R (1,0 điểm)
Câu 7: Đặt BH = x
ÁP dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
AB2=BC.BH suy ra 9 = (x + 8).x
Giải phương trinh tính được: x = 1, suy ra BC = 9 (1,0 điểm)