Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán 8

CỤM CHUYÊN MÔN
THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN
---------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016
Câu 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. 5x2 -10xy + 5y2 - 20z2	b. 
c. 	d. 64x4 + y4
Câu 2: (4 điểm) Tìm x biết
a. 2(x + 5) – x2 - 5x = 0	b. 4x -10.2x + 16 = 0
c. 	d. 
Câu 3: (5 điểm)
a. Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = chia hết cho đa thức 
b. Cho các số nguyên thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Câu 4: (6 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có . Qua C kẻ đường vuông góc với BD, cắt BD ở E và cắt tia phân giác của góc ADB ở M.
a. Chứng minh rằng AMBD là hình thang cân.
b. Gọi N là hình chiếu của M trên DA, K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng ba điểm N, K, E thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm) Cho x và y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0.
	Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức: B = x + y + 2016
-------------------Hết------------------
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1a
(1đ)
0.5
0.5
1b
(1đ)
0.5
0.5
1c
(1đ)
0.5
0.5
1d
(1đ)
0.5
0.5
2a
(1đ)
 2(x + 5) – x2 - 5x = 0	
 2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0
 2(x + 5) – x(x + 5) = 0
 (x + 5)(2 – x) = 0
Vậy x = -5; x = 2
0.5
0.5
2b
(1đ)
Vậy x = 2; x = 3
0.5
0.5
2c
(1đ)
* Với x³ 1 (*) Þ x - 1 ³ 0 Þ 
Ta có: x2 -3x + 2 + x-1 = 0
 (TM ĐK (*))
* Với x< 1 (**) Þ x - 1 < 0 Þ 
Ta có: x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 
+ x - 1 = 0 ( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - 3 = 0 ( Không thỏa mãn điều kiện **)
Vậy x = 1
0.5
0.5
2d
(1đ)
(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1)	
 ( x + 100 )( + - - ) = 0	
Vì : + - - 0
Do đó: x + 100 = 0 x = -100
	Vậy x = -100
0.25
0.25
0.25
0.25
3a
(2.5đ)
Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + (a – 3)x + b + 4 
Để A(x) chia hết B(x) thì 
Vậy để A(x) chia hết B(x) thì a=3 và b= -4
3b
(2.5đ)
Đặt ; 
Ta có: 
. 
Do là số nguyên có tổng bằng 0 và 
A
D
C
B
N
M
K
E
3
2
1
1
1
2
1
2
nên 
1
0.5
0.5
0.5
4a
(4đ)
a. Ta có ; 
 có DB vừa là đường cao vừa là đường phân giác => DB là đường trung tuyến => E là trung điểm của MC.
 có đường cao BD là đường trung tuyến nên là tam giác cân tại B => =>.
 có nên cân tại M => MD = MC => MK là đường trung trực của CD nên là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD, do đó AM = MB => .
Tứ giác AMBD có AM//BD (vì có hai góc so le trong bằng nhau) và nên là hình thang cân.
1
1
1
1
4b
(2đ)
b. M thuộc tia phân giác của góc NDE => MN = ME => cân tại M có => . (1)
Lại có tứ giác ANMK là hình chữ nhật nên (2)
Từ (1) và (2) => N,K,E thẳng hàng.
1
1
5
(1đ)
x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0.
x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9 - 1 = - y2 0.
(x + y)2 + 2 (x + y) . 3 + 32 - 1 = - y2 0.
(x + y + 3)2 - 1 0
(x + y + 2) (x + y + 4) 0
(x + y + 2016 - 2014) (x + y + 2016 - 2012) 0
(B - 2014) (B - 2012) 0
GTLN của B = 2014
GTNN của B = 2012.