Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện năm học 2009 - 2010 môn: Toán

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
	a) Chứng minh rằng: Z; Z
	b) Chứng minh rằng: n4 + 6n2 - 7 64, lẻ
Bài 2:( 4 điểm ) 
Cho biểu thức P = 
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P khi x = 
c. Tìm x để P < 1
Bài 3: (4 điểm)
	Cho các đường thẳng có phương trình: mx + (2m – 1)y + 3 = 0
	a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1).
	b/ Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm toạ độ của M.
Bài 4: (2 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F.
	Chứng minh rằng: 
Bài 5: (4 điểm)
	Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung AB (MA, MB). Tiếp tuyến tại M với (O;R) cắt Ax, By lần lượt tại C,D.
	a/ Chứng minh tam giác COD vuông và AC.BD = R2
	b/ Gọi N là giao điểm của OD và nửa đường tròn (O;R). Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBD.
	Hết..
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
Bài 1:(6 điểm)
1a 
1b
Ta đặt A = 
 Vì a(a+1)(a+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Do đó A6 hay AZ
Đặt B = n4 + 6n2 - 7 = n4 - n2 + 7n2 - 7
 = n2(n2 - 1) - 7(n2 - 1) = (n2 - 1)(n2+7)
Vì n lẻ nên n = 2m + 1 (m Z) 
Khi đó:
 B = [(2m + 1)2 - 1].[(2m + 1)2 +7]
 B = (4m2 + 4m)(4m2 + 4m + 8)
 B = 16m(m + 1)(m2 + m + 2)
 B = 16m(m + 1)[m(m + 1) + 2]
Vì m(m + 1) là tích 2 số nguyên liên nên chia hết cho 2. Suy ra B64
1
1
0,5
0,75
0,25
0,5
 0,5
0,75
0,75
Bài 2:( 4 điểm) 
a) ĐK 
	P= 	 ( 1,5đ)
	b) Khi ta có P= ( 1,5đ)
	c) Để P<1 thì ( 1đ)
Bài 3: (4 điểm)
	a/ Đường thẳng đi qua A(2;1)
	Do đó: m.2 + (2m – 1)1 + 3 = 0
	 2m + 2m – 1 + 3 = 0
	 4m = - 2 
	 m = - 
	Phương trình đường thẳng cần tìm là: - x – 2y + 3 = 0
	(2 điểm)
b/ Gọi M(xo;yo) là điểm cố định thuộc đường thẳng:
 mxo + (2m – 1)yo + 3 = 0 đúng với mọi m.
 mxo + 2myo – yo + 3 = 0 đúng với mọi m.
 m(xo + 2yo) – yo + 3 = 0 đúng với mọi m.
 Vậy các đường thẳng có pt: mx + (2m – 1)y + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định M(-6;3).
(2 điểm)
Bài 4: (2 điểm)
Vẽ AK AF (KCD) A B
rABE rADK (g - g) 
 E
 K F
 D C 
Xét rAKF vuông tại A, ta có: 
Suy ra: 
hay: 
0,5
0,5
0,5
0,5
.
Bài 5: (4 điểm)
	a/ CA, CM là tiếp tuyến của (O;R) (gt)
	Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
T
	AC = CM
	OC là tia phân giác AOM 
T
	Tương tự: BD = MDX
	OD là đường phân giác của BOM
T
T
	Ta có: OC và OD lần lượt là hai tia phân 
T
giác của hai góc kề bù AOM và BOM 
T
	Do đó: COD = 900
	rCOD có góc COD = 900 và OM CD ( CD là tiếp tuyến của (O) )
	Do đó: CM . MD = OM2, OM = R
	Vậy: AC . BD = R2
T
T
b/ OB = ON = R rOBN cân tại O.
T
	 ONB = OBN (1)
rOMB cân tại O (OM = OB) có OD là tia phân giác BOM
 OD MB
T
T
T
Gọi H là giao điểm của OD và MB.
T
T
	rHNB có H = 900 nên ONB + HBN = 900 (2)
T
T
	 mà OBN + NBD = 900	 (3)
	Từ (1), (2) và (3) ta có: HBN = NBD
T
	Do đó BN là tia phân giác của MBD
	DM và DB là tiếp tuyến của (O) DO là tia phân giác của MDB.
	rMBD có BN và DO là hai phân giác cắt nhau tại N.
	 N là tâm đường tròn ngoại tiếp rMBD.
	..Hết..