Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
 ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)	
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN TOÁN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------
Bài 1 (4,0 điểm). 
1) Rút gọn biểu thức: A = 
2) Cho 
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình 
1) Giải phương trình : 
2) Giải phương trình: .
Bài 3 (3,0 điểm). 
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 4 (7,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh 
b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
-------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:.............. Họ, tên chữ ký GT1:..
Số báo danh:............... Họ, tên chữ ký GT2:..
PHÒNG GD-ĐT
HUYỆN TRỰC NINH 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi : Toán 9
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
Bài 1 (4 đ)
Câu 1
(1,75đ)
1. Rút gọn biểu thức: A = 
A = =
0,75
A = 
0,5
A = 
0,5
Câu 2
(2,25)
2. 
a) ĐKXĐ: 
0,25
0,5
0,5
b) B = A + x – 1=
0,5
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
0,25
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
0,25
Bài 2 (4 đ)
1) Giải phương trình : 
Câu 1
(2đ)
ĐKXĐ : 
0,25
0,5
0,25
 (*)
0,25
Nếu phương trình (*) (TM)
0,25
Nếu phương trình (*) ( TM)
0,25
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5
0,25
Câu 2
(2đ)
2) Giải phương trình: .
Đặt (
0,25
0,25
Từ (1) (2)
0,25
Vì , từ (2) suy ra: . Vì vậy (3)
0,25
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2
0,25
0,5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 
0,25
Bài 3 (3 đ)
Câu 1
(1,5đ)
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. 
Suy ra: 2016k = a3 - 3
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.
0,5
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r .
0,25
Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
0,5
Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k. ĐPCM
0,25
Câu 2
(1,5đ)
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Từ 
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
0,25
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn 
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn.
0,5
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ (y+3+x).
0,25
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y= 0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6.
V× thÕ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm :
( x,y) 
0,5
Bài 4 (7 đ)
Câu a (1,5 đ)
+ Vì nội tiếp đường tròn đường kính AB nên 
 Suy ra (1)
0,5
+ Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2)
0,5
+ Từ (1) và (2) suy ra 
+ Suy ra (cùng phụ với ) (3) 	
0,5
Câu b 
(2 đ)
+) Trong vuông CBH ta có: (4)
0,5
+ Lập luận chứng minh được CJ // AB
+ Mà CH AB (gt)
+ Suy ra CJ CH
0,5
+) Trong tam giác vuông CIJ ta có (5)
+ Từ (3), (4), (5) 
0,5
+ Xét CJH vàHIB có và (cmt)
+ Nên CJH đồng dạng với HIB
0,5
Câu c (1,5 đ)
+ Lập luận để chứng minh được 
0,5
+ Chứng minh được đồng dạng với 
+ Suy ra 
0,5
+ Suy ra HE.HJ = HI.HC
+ Mà 
+ Suy ra HE.HD = HC2
0,5
Câu d
 (2 đ)
+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho 
+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có M và N cố định.
0,5
+ Kẻ MK AB tại K
+ Chứng minh được vuông cân tại M và KM = KN
 Suy ra 
Xét C M
Ta có C M nên H K
Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi)
0,5
+ Xét C khác M.
Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
Do đó 
+ HNC có 
nên 
Mà nên 
Suy ra 
Suy ra HC < HN
0,5
+ Do đó AH + CH < AH + HN = AN
+ Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho thì AH + CH đạt giá trị lớn nhất
0,5
Bài 5
(2 đ)
Chứng minh rằng .
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
0,5
Chứng minh tương tự ta được
0,5
Suy ra 
0,5
Dấu bằng xảy ra (Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
0,5