Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 9

ĐỀ 9
Câu 1 (6 điểm) 
 Cho P = . 
 a, Rút gọn P.
 b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (4 điểm)
 a, Giải phương trình:
 + = x + 4
 b, Cho 00 < < 900 và sin+ cos. Tính tan 
Câu 3 (3 điểm)
 a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1
 Chứng minh rằng: .
 b, Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của .
Câu 4 (6 điểm)
 Cho tam giác ABC có , kẻ đường cao AH (H thuộc BC). 
 Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC lần lượt tại E và F. 
 Chứng minh rằng:
 a, PE// QF.
 b, AB . AP = AQ . AC
 c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF.
 d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
 Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức: 
 2012x2015 + 2013y2018 = 2015.
---------------- Hết --------------
Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy
ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9
Năm học: 2015 – 2016
Câu
Nội dung
Điểm
1
(6 điểm)
a, P = . đk: 
P = . 
 P = . 
P = . (1 - + 3x - )
P = . (3x - 2 + 1)
P = . ( - 1)2 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Ta có P 
 P = (- 2) + 2 + 
 P = + 
Để P có giá trị nguyên thì(2)
Từ (2) có 
Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
2
(4 điểm)
a, Giải phương trình:
 + = x + 4 điều kiện: x -3
 = 2x + 8
 2x + 8 - = 0
 (x - + 1) + x + 3 - 4 + 4 = 0
 = 0
 x=1 (thỏa mãn) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
b, b, Cho 00 < < 900 và sin+ cos. Tính tan.
 Vì sin+ cos 
 Mà nên 
 (5cos- 4) (5cos- 3) = 0
 Vậy nếu và 
 Hoặc nếu và 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
3
(3 điểm)
 a, Ta có: 
Tương tự: và 
Mà: 
Nên 
Dấu (=) xảy ra khi a = b = c = 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
b, Ta có: 0 0
 Và .
Vì 
Do đó: . Dấu (=) xảy ra khi 
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2) khi x = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
4
(6 điểm)
Vẽ hình đúng được 0,25điểm
 A
 Q
K
I
 I
 P
 B
a, Chứng minh được: E H F C 
 +) P, I, Q thẳng hàng
 +) PE, QF cùng vuông góc với PQ. 
0,5đ
0,75đ
b, +) APHQ là hình chữ nhật
 +) góc BAH bằng góc C
 +) góc APQ bằng góc BAH
 +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) 
0,5đ
0,25d
0,25đ
0,5đ
c, +) Tính BC = 13cm
 +) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC
 +) EF = BC = 6,5cm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
d, Kẻ AKPQ ta có SAPQ= AK . PQ = AK . AH
Vì AKAH nên SAPQ AH2 SAPQ lớn nhất AH lớn nhất AH là trung tuyến của ABC ABC là vuông cân tại A.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
(1 điểm)
Ta có với mọi x thì 2012x2015 4 nên là số chẵn.
+) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn.
Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn
mà 2015 Là số lẻ (vô lí).
+) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ.
 Do đó chọn y1009 = (2n+1) (nZ )
Thì 2013. y2018 = 2013 . (2n+1)2 = 2013. (4n2 + 4n + 1)
 = 4 . 2013 (n2 +n) +2013
Nên 2012.x2015 + 2013. y2018 chia cho 4 dư 1
Còn số 2015 chia cho 4 dư 3. (vô lí)
Vậy không có số nguyên x, y nào mà
 2012x2015 2013.y2018 = 2015
 0,25đ
0,25đ
0,5đ