Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2016 - 2017 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ...... tháng ...... năm 2016
Bài 1 (4,0 điểm) 
 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
 A = . 
 Điều kiện x , x 4; x 9 ; x 1
 2) Rút gọn biểu thức: B = 
Câu 2: (3,0 điểm).
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 3: (4,0 điểm) 
Với Tính giá trị của biểu thức: B = .
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho 
 (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x.
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 b) tanB.tanC = . 
 c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
 d) .
Bài 5: (1,0 điểm) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
 1
(4đ)
 1)
 2điểm
Do x 0; x 1; x 4; x 9
A = 
A = 
A = 
A = = => ĐPCM
0,75
0,75
0,5
2)
2điểm
1,0
0,75
0,25
2
(3đ)
a.
(1,5đ)
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là: 
 (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m 
 mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m 
 (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m
 Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ)
+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1 
 do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 
 do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung. 
Ta có: x = 0 y = , do đó OA = .
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.
 Ta có: y = 0 x = , do đó OB = 
 Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có: 
 .
 Suy ra h2 2, max h = khi và chỉ khi m = . (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = khi và chỉ khi m = . 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
3
(4đ)
Ta có 
Từ tính được B = - 1. 
1,25
0,75
b. Dễ thấy . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
Từ (3y + 1) x 
Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. 
 p < 3. Vậy p 
Với p = 1: x = 3y + 13x + 1 = 9y + 4 y 4y 
Mà y > 1 nên y
+ Với y = 2 thì x = 7.
+ Với y = 4 thì x = 13.
Với p = 2: 2x = 3y + 16x = 9y + 32(3x + 1) = 9y + 5
Vì 3x + 1y nên 9y + 5y suy ra 5y , mà y > 1 nên y = 5, 
suy ra x = 8.
Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng.
Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(6đ)
A
B
C
H
D
E
F
a(2,0đ) 
* Ta có: SABC = .BC.AD.
DABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = BC.AB.sinA.
DABE vuông ở E có AE = AB.cosA 
 DBFC vuông ở F có BF = BC.cosB 
 DACD vuông ở D có CD = AC.cosC 
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
1,0
1,0
b(1,5đ) Xét DABD có tanB = ; DACD có tanC = 
suy ra tanB.tanC = (1)
Do (cùng phụ với ) nên DBDH ~ DADC (g.g) Þ BD.DC = DH.DA 
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) Chứng minh được DAEF ~ DABC (g.g) .
 Tương tự được nên mà BE ^ AC = 900. Từ đó suy ra Þ EH là phân trong của DDEF. 
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DDEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DDEF.
0,5
0,5
0,5
d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
Dễ thấy DCHE ~ DCAF(g.g) 
Tương tự có ; . 
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1đ)
Đặt Þ và .
Ta có: Þ
	.
Do đó: .
Tương tự: .
	.
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
6
(2đ)
Đặt 
A
B
K
N
I
M
C
0.25
0.5
Chứng minh tương tự ta có:
0.25
Vây 
1.0