Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Cẩm Xuyên năm học 2016-2017 môn Toán lớp 11

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN
TỔ: TOÁN - TIN
——————
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN TOÁN LỚP 11
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
——————
Câu 1. Giải các phương trình sau:
 a) . 
 b) .
 c) .
Câu 2. a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
 b) Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
Câu 3. a) Tìm số hạng không chứa trong khai triển: .
 b) Tính tổng: .
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SA, N là trung điểm SD và G là trọng tâm tam giác SBC.
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNG).
 b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (MNG) với SC, SB. Chứng minh: MQ và NP cắt nhau, AQ và DP cắt nhau. Gọi I là giao điểm của MQ và NP; J là giao điểm của AQ và DP. Chứng minh rằng I, J, S thẳng hàng.
 c) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, E là giao điểm của SO và mặt phẳng (MNG). Tính tỉ số .
Câu 5. Cho ba số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
.....HẾT.....
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ...Số báo danh: 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
(Đáp án gồm 06 trang)
Câu
Bài giải
Điểm
1a
(2.5đ)
1.0đ
1.0đ
0.5đ
1b
(2.0đ)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.c
(1.5đ)
, ĐK: 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2a
(2.0đ)
Số cần lập có dạng: ( d chẵn, a, b, c, d khác nhau)
TH1: d = 0
Sau khi chọn d có cách chọn 
TH này có 120 số cần lập
1.0đ
TH2: 
Có 3 cách chọn d
Sau khi chọn d, có 5 cách chọn a
Sau khi chọn d, a có cách chọn 
TH này có 3.5.20 = 300 số cần lập
Vậy tất cả có 120 + 300 = 420 số cần lập
1.0đ
2b
(1.5đ)
Ta chia 20 số từ 1 đến 20 thành 3 nhóm sau:
: Chia hết cho 3, n(A) = 6
: Chia cho 3 dư 1, n(B) = 7
: Chia cho 3 dư 2, n(C) = 7
0.5đ
Tổng 3 số đã cho chia hết cho 3 có 4 trường hợp sau:
TH1: 3 số thuộc A
Có cách chọn
0.25đ
TH2: 3 số thuộc B
Có cách chọn
0.25đ
TH3: 3 số thuộc C
Có cách chọn
0.25đ
TH4: 1 số thuộc A, 1 số thuộc B, 1 số thuộc C
Có cách chọn
Vậy tất cả có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn thỏa mãn ycbt
0.25đ
3a
(2.5đ)
Số hạng tổng quát của khai triển là: 
1.0đ
Số hạng không chứa x tương ứng với 
1.0đ
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là .
0.5đ
3b
(1.5đ)
Xét khai triển 
Hệ số của trong khai triển là (1)
0.5đ
Mặt khác, ta có:
Hệ số của trong khai triển là 
 (2)
0.5đ
Từ (1) và (2) 
Áp dụng với n = 2017 ta có:
0.5đ
4a
(2.0đ)
Gọi T là trung điểm BC.
Trong mặt phẳng (SAT) có MG cắt AT tại H.
0.5đ
Hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) có điểm chung H và lần lượt chứa hai đường thẳng song song MN, AD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua H và // MN, AD. 
1.0đ
Trong mặt phẳng (ABCD) có AC cắt d tại K.
Giao điểm của AC và (MNP) là K
0.5đ
4b
(1.5đ)
Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với AD, BC)MNPQ là hình thang
 cắt nhau.
0.5đ
Ta có: AD // PQ (vì cùng song song với BC)ADPQ là hình thang
 cắt nhau.
0.5đ
Ta có: S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) (1)
 ; 
I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) (2)
 ; 
J là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) (3)
Từ (1), (2), (3) I, J, S thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Hay I, J, S thẳng hàng (ĐPCM).
0.5đ
4c
(1.0đ)
Trong (SAC) có , E là giao điểm của SO và (MNG).
0.25đ
Dựng đường thẳng qua A song song với MP cắt đt SO tại A’
Dựng đường thẳng qua C song song với MP cắt đt SO tại C’
Ta có: AA’CC’ là hình bình hành.
0.75đ
5
(2.0đ)
Ta có: 
Đặt 
Do 
0.5đ
Khi đó:
0.5đ
 = 
 =
 =
 =
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của P là , đạt khi .
1.0đ
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.