Đề thi chọn học sinh giỏi bậc THCS cấp huyện Buôn Đôn năm học 2009-2010 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HUYỆN BUÔN ĐÔN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng: 
Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 4 (2 điểm): Cho 
Tính giá trị của biểu thức:
 A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.
Chứng minh: 
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH vuông góc với AD (HAD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K.
a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng.
c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (IDK). Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Câu 1 (3 điểm):
Ta có = = 	(0,5 điểm)
Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
 	 = = 
Vậy: 	(0,5 điểm)
Tương tự: 
 	 	(0,5 điểm)
 	 	(0,5 điểm)
Từ đó, suy ra: 
 	 = 64 (đpcm)	(1 điểm)
Câu 2 (3 điểm):
ĐK: x 2 ; y 3 ; z 5 
Ta có:
x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6 
 (x - 2 - 2 + 1) + (y - 3 - 2.2+ 4) + (z-5 - 2.3 + 9) = 0
(0,5 điểm)
 (-1)2 + (- 2)2 + (- 3)2 = 0 	(0,5 điểm)
 	(0,5 điểm)
 	(0,5 điểm)
 	(0,5 điểm)
 	(0,5 điểm)
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:
 	Û Û 	(1 điểm)
(1) + (2) + (3): 	(0,5 điểm)
Lấy 	(4) – (1): 	(0,5 điểm)
	(4) – (2): 	(0,5 điểm)
	(4) – (3): 	(0,5 điểm)
Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3
Ta có: (xyz)2 = 36 Þ xyz = 6 hay xyz = -6
Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3	(0,5 điểm)
Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3	(0,5 điểm)
Câu 4 (2 điểm):
Ta có 
 = 	(0,5 điểm)
 = 	(0,5 điểm)
Ta lại có:
 A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
 = 	(0,5 điểm)
Thay x = vào A, ta được:
 A = = = 12003 = 1 (0,5 điểm)
Câu 5 (4 điểm): 
Vẽ hình; viết GT, KL đúng	 (0,75 điểm)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 150, suy ra = 900 (0,5 điểm)	
	 (g.c.g)	(0,5 điểm)
	AE =AM	(0,25 điểm)
Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH,
ta có: 	(0,5 điểm)
	suy ra: (1)	(0,5 điểm)
Xét tam giác đều ADC, đường cao AH
ta có: AH2 = (2)	(0,5 điểm)
Từ (1), (2) suy ra (Đpcm)	(0,5 điểm)
Câu 6 (4 điểm):
Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ 	(0,5 điểm)
D
I
C
E
K
B
A
H
F
a) Ta có CHAD và BDAD (gt)
 ( hai góc đồng vị) mà Sđ DA	(0,5 điểm)
 Mà cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp.	(0,5 điểm)
b) Ta có Sđ DE 
SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp. 	(0,5 điểm)
Mà (gt) vậy hai tia KC và KE trùng nhau 
Vậy K, C, E thẳng hàng	(0,5 điểm)
c) Ta có AD//IC (gt) suy ra (đồng vị)
Mà Sđ DEB 
	(0,25 điểm)
 nên tứ giác KBCI nội tiếp 
Sđ BC và Sđ IC 	(0,25 điểm)
Mặt khác ( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)
 vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC	(0,5 điểm)
* Ta có AD = BC và AD//IC (gt) 
 IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành 
 DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành )
Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC.	(0,5 điểm)
Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa.