Đề thi chọn giáo viên giỏi huyện năm học 2016 - 2017 môn Toán

PHÒNG GD - ĐT THẠCH HÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. 1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 
2. Ký hiệu S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a
Tìm a, biết: S(a-3) + a = 120
Bài 2. 1. Tìm GTNN của biểu thức A= 
2. Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện . Tính giá trị biểu thức: 
Bài 3. Cho phương trình (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B, C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
a) Chứng minh 4 điểm A, H, C, P cùng nằm trên một đường tròn 
b) Xác định vị trí M sao cho tổng diện tích các tam giác ABN và ACP lớn nhất.
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z.
------------------Hết--------------------
Họ và tên:..Số báo danh
SƠ LƯỢC GIẢI 
ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017
MÔN TOÁN
Bài
Nội dung
Bài 1
1. =1.3=3.1= -1.(-3) = -3.(-1)
Kết hợp x, y nguyên dương nên 
hoặc hoặc
Vậy phương trình có hai nghiệm 
2. Từ S(a-3) + a = 120, suy ra a < 120, tức là số a có 2 hoặc 3 chữ số
Nếu a có 2 chữ số thì a 99; S(a-3)18 S(a-3) + a 107, suy ra a có 3 chữ số
Đặt , vì a < 120 và n = 0 hoặc n =1 (1)
Nếu và S(a-3) + a < 120 (2)
Từ (1) và (2) ta có n = 0 và q =2 hoặc n =1 và q =1
Vậy a = 102; 111
* Cách khác: 
Với n= 0, nếu (loại)
 nếu 
 Với n=1, nếu (loại)
 nếu
Bài 2
1. Ta có , đẳng thức xẩy ra khi (*)
Áp dụng (*) ta có: (1)
 Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Đẳng thức xẩy ra khi 
Vậy Min A = 2 khi x =2017
2. Từ gt ta suy ra 
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0 a + b = -c ; b + c = - a; c + a = -b
Khi đó P = = = .. = = -1
* Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8
Bài 3
3a. (1)
Thay m = 1 vào phương trình ta được hoặc 
Vậy khi m = 1 phương trình (1) có 2 nghiệm 
3b. 
Đặt (*) thì (2) (2)
- Nếu m = 0 ta có (3) => phương trình (1) có 2 nghiệm 
- Nếu m 0 thì pt (2) là phương trình bậc hai ẩn t
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ó pt (2) có 1 nghiệm dương
Ta xét các trường hợp sau:
 + TH1: , khi đó pt (2) có 2 nghiệm t = 0 và t = 1, nên pt (1) có 3 nghiệm 
 + TH2: Pt (2) có 2 nghiệm trái dấu 
 + TH2: Pt (2) có nghiệm kép dương 
Vậy để pt (1) có hai nghiệm phân biệt thì hoặc hoặc 
Bài 4
5a. - Trường hợp A< 900 (hình vẽ)
 Ta có: (PM là trung trực của AC) 
 (cùng chắn cung AC)
 (cùng phụ với góc BAH)
=> => AHCP nội tiếp đường tròn hay bốn điểm A, H, C, P thuộc một đường tròn 
- Trường hợp A= 900 thì H trùng A, lúc đó hiến nhiên bốn điểm A, H, C, P thuộc một đường tròn
- Trường hợp A> 900 chứng minh tương tự như trên
5b. Tìm M để tổng diện tích các tam giác ABN và ACP lớn nhất.
Ta có 
Nên 
Ta có không đổi => M là điểm chính giữa cung BC thì tổng diện tích các tam giác ABN và ACP lớn nhất.
Bài 5
Ta có: . Áp dụng BĐT Bunhiacốpki ta có:
 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi: (1)
 Mặt khác 
Kết hợp với (1) ta có => x = 6; => y = 12; z = 18
Vậy MinS=36 khi x = 6; y = 12; z = 18.
 	PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ