Đề cương ôn tập học kỳ II môn: Toán - Khối 11

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II 
Môn: TOÁN. Khối: 11. 
A. PHẦN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ. 
Bài 1. Tính các giới hạn của các dãy số sau: 
a). 2lim( 4 5)n n  b). 2lim( 3 1)n n   c). 3 2lim( 2 1)n n n   d). 4 2lim( 2 3 4)n n n    
Bài 2. Tính các giới hạn của các dãy số sau: 
a). 
6 1
lim
1 3
n
n


 b). 
2
2
2 1
lim
4
n n
n
 

 c). 
2
3( 1)( 4)
lim
5 3
n n
n n
 
 
d). 
3
3 1
lim
2
n
n n

 
 e). 
25 7
lim
2 1
n n
n
 

 f). 
3
3 2
8 4
lim
2 1
n n
n n
 
 
Bài 3. Tính các giới hạn của các dãy số sau: 
a). 
5 1
lim
3 2.5
n
n n


 b). 
3.4 1
lim
4 2
n
n


 c). 
12 7
lim
1 7
n n
n


Bài 4. Tính các giới hạn của các dãy số sau: 
 a). 2lim( 3 )n n n  b). 2lim( 3 )n n n  c). 2lim( 1 5 )n n n   
 d). 2lim( 4 1 2 )n n  e). 2 2lim( 4 4 1)n n n   f). 2 2lim( 4 4 1)n n n   
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ. 
Bài 5. Tính các giới hạn của các hàm số sau: 
a). 2lim ( 4 2)
x
x x

   b). 2lim (3 7 1)
x
x x

  c). 3 2lim ( 5 1)
x
x x x

   d). 4 2lim (2 5 3)
x
x x

  
Bài 6. Tính các giới hạn của các hàm số sau: 
a). 
8 3
lim
5 4x
x
x


 b). 
2
2
2 1
lim
4x
x x
x
 

 c). 
26 1
lim
3( 2)( 5)x
x x
x x
 
 
d). 
2
2
lim
1x
x
x x

 
 e). 
33 4
lim
2 5x
x x
x
 

 f). 
3 2
3
6 3
lim
1 2x
x x
x x
 
 
Bài 7. Tính các giới hạn của các hàm số sau: 
a). 
2
2
2 4
lim
2x
x x
x
 
 
b). 
2
3 6
lim
2 4x
x
x


 c). 
2
3
4 3
lim
3x
x x
x
 
 
d). 
2
21
2 3
lim
2 1x
x x
x x
 
  
e). 
2
21
2 3 1
lim
1x
x x
x
 

 f). 
23
3 9
lim
2 3x
x
x x

  
g). 
21
1
lim
1x
x
x

 
h). 
2
3
9
lim
3x
x
x

 
 i). 
3
2
8
lim
2x
x
x

 
j). 
3 2
1
1
lim
1x
x x x
x
  

Bài 8. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
a). 
3
6 3
lim
3x
x
x
 

 b). 
2
2
lim
7 3x
x
x

 
 c). 
21
2 3 1
lim
1x
x
x
 
 
d). 
23
1 2
lim
9x
x
x
 

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
e). 
1
1
lim
1x
x
x

 
f). 
4
1 3
lim
2 8x
x
x
 
 
 g). 
24
2
lim
5 4x
x
x x

 
 h). 
2
3 1
lim
6 2x
x
x
 
 
Bài 9. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
a). 
2
4 1
lim
2x
x
x

 
b). 
2
1
3 5
lim
1x
x x
x
 

 c). 
2
( 1)
3 1
lim
1x
x
x 

 
d). 
1
2
2 5
lim
4 2
x
x
x 
 
 

 
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC. 
Bài 10. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: 
a). 
2 3 2
 2
( ) 2
 1 2
x x
khi x
f x x
khi x
  

 
 
 b). 
2 4
 2
( ) 2
 x+1 2
x
khi x
f x x
khi x
 
 
 
  
c).  
2 2
x 2
2
5 x 2
x x
khi
f x x
x khi
  

 
  
 d).  
2 5 4
x 1
1
3 7 x 1
x x
khi
f x x
x khi
  

 
  
Bài 11. Xét tính liên tục của các hàm số sau: 
a). 
2 4
 2
( ) 2
 4 2 
x
khi x
f x x
khi x
 

 
  
 tại x0 = 2 b). 
2 4 3
 3
( ) 3
 2 - 4 3
x x
khi x
f x x
x khi x
  

 
 
 tại x0 = 3 
Bài 12. a). Xác định m để hàm số 
2 6 5
 1
( ) 1
 1 1 
x x
khi x
f x x
mx khi x
  

 
  
 liên tục tại 0 1x 
 b). Xác định a để hàm số 
2
 4
4( )
2 1
 4 
4
x
khi x
xf x
ax
khi x
 
  
 

 liên tục tại 0 4x  
Bài 13. CMR: 
a). Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 32 10 7 0x x   
b). Chứng minh rằng phương trình 4 22 4 3 0x x x    có ít nhất hai nghiệm trong 
 khoảng  1;1 
c). Chứng minh rằng phương trình 5 43 5 2 0x x x    có ít nhất ba nghiệm thuộc 
khoảng  3;5
d). Chứng minh rằng phương trình sinx x có nghiệm. 
IV. ĐẠO HÀM. 
Bài 14. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1).    
3 2
10
3 2
x x
y x
2). 3
2
2 5 
x
xy
3).   
2 3
2 3 5
y
x x x 
4). 32 )5(  xy 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
5). 3 2 4(5 1)y x x x    
6). )13(5 2  xxy 
7). )35)(1( 22 xxy  
8). )23)(12(  xxxy 
9).
2 3
1
x
y
x


 
10).
2 2 3
1
x x
y
x
 


11).
22 5
2
x
y
x


 
12).      
 
2
3 1y x x
x
13). 
  


2
2
7 5
3
x x
y
x x
14). 
3
2
2
1
x x
y
x x


 
15).
2
1
3 4
y
x x

  
16). 32y x
17). 4 23y x x  
18). 762  xxy 
19). 21  xxy 
20). 1)1( 2  xxxy 
21). 
12
322



x
xx
y
22). 
1 x
y
1 x


 
23).  
3
22 3 1y x x  
24). 2 2 1y x x  
25). 3 1y x x x   
Bài 15. Tính đạo hàm các hàm số sau: 
1) 3sin 2cosy x x  2). sin3 cos2y x x  3). 
2 siny x x 
4). tan 2y x x 5).
2 cos 1y x x x   6) xxy 2sin.cos 
7). 2 3cos 2 siny x x  8). 3y cot (2x )
4

  9). 2sin (cos3 )y x 
10).  y 3sinx cos2x 11). xxy 3sin.sin3
2 12). 
2
y 2 tan x  
13). y 1 2tanx  14). 
2
1
1 sin 2
y
x


 15). 
sin cos
sin cos
x x
y
x x


 
16). 

xsinx
y
1 cot x
 17).  
sinx x
y
x sinx
 18). y cos(xsinx) 
Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến với parapol (P): 2 3 1y x x   trong các trường hợp sau : 
a). Tại M (1;-1). 
b). Tại điểm có hoành độ bằng 2. 
c). Tại điểm có tung độ bằng 1. 
d). Biết hệ số gốc của tiếp tuyến bằng 5. 
e). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5 1y x   
f). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1
2016
7
y x  
Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): 3 22 1y x x   trong các trường hợp 
sau: 
a). Tại điểm có hoành độ bằng -1. 
b). Tại điểm có tung độ bằng 1. 
c). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1y x   
Bài 18. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (H): 
2 1
1
x
y
x



 trong các trường hợp sau : 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
a). Tại điểm có hoành độ bằng 4. 
b). Tại điểm có tung độ bằng 1. 
c). Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1
9
3
y x  
Bài 19. Chứng minh các đẳng thức sau : 
a). Cho 3 1y x x   . Chứng minh rằng: ' ''9( 1) 3 . 0y x y y    
b). Cho 
1
1
x
y
x



. Chứng minh rằng: 2 '2 . 1 0y x y   
c). Cho siny x x . Chứng minh rằng: 2 ' 2 ''( 2) 2 0x y xy x y    
d). Cho tan 2y x . Chứng minh rằng: 2 '2 2 0y y   
B. PHẦN HÌNH HỌC 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD). 
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh AI vuông góc với mặt phẳng (BCD). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. 
a). Chứng minh rằng ( )BC SAB và ( )CD SAD và ( )BD SAC . 
b). Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, 
AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. 
c). Chứng minh rằng ( )HK SAC . Từ đó suy ra HK vuông góc với AI 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S 
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng 
AB. Chứng minh rằng: 
a). BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB). 
b). ( )SI ABCD . 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, 
AB, AC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O 
Chứng minh rằng: 
a). ( ) ( )SBC ABC ; 
b). ( ) ( )SOI SAB ; 
c). ( ) ( )SOI SOJ . 
Bài 5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, có 3AC a , BD a . Đường 
cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =
4
a
. Gọi E là hình chiếu vuông góc của 
O trên BC. 
a). Chứng minh ( ) ( )SOE SBC và ( ) ( )SAC SBD 
b). Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD); góc hợp 
bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 300 . 
a). Chứng minh tam giác SBC vuông. 
b). Chứng minh BD  SC và (SCD)(SAD). 
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 
3
2
a
SA  và ( )SA ABC . Gọi I 
là trung điểm cạnh BC. 
a). Chứng minh rằng ( )BC SAI 
b). Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC . 
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC . 
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 
Đề 1: 
Câu 1: Tính giới hạn các dãy số sau: 
 a). 
6 1
lim
1 3
n
n

 
b). 2lim( 2 )n n n  
Câu 2: Tính giới hạn các hàm số sau: 
 a). 
2
2
2 1
lim
1x
x x
x
 

 b). 
2
4
6 8
lim
4x
x x
x
 

 c).
 3
1 2
lim
3x
x
x
 

. 
Câu 3: Xác định m để hàm số sau liên tục tại 0 2x  . 
2 4
 2
( ) 2
 - 2 2
x
khi x
f x x
mx khi x
 

 
 
Câu 4. Chứng minh rằng phương trình 5 4 35 3 1 0x x x    có ít nhất một nghiệm. 
Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 3 23 4y x x   . Biết tiếp tuyến song song 
với đường thẳng (d): 9 1y x  . 
Câu 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a). 
4
22 11
4
x
y x x    b). 
3 1
2
x
y
x


 
c). 2 sin 2y x x 
Câu 7. Cho 2 2 1y x x   . Chứng minh rằng: ' ''2( 1) ( ) 0y x y y    
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, có 6SA a và SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy. 
a). Chứng minh rằng: ( )BC SAB và ( )BD SAC 
b). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC 
c). Tính góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy. 
------------------------------------------------------------- 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text] 
Đề 2: 
Câu 1: Tính các giới hạn sau: 
 a). 
4 3
lim
1 8
n
n

 
b). 
2
2
6
lim
2x
x x
x
 

 c). 
2
1
4 5 1
lim
1x
x x
x
 

 d).
 4
4
lim
5 3x
x
x

 
. 
Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại 0 1x  . 
2
2
1
 1
( ) 1
 a 1
x
khi x
f x x
a khi x
 

 
  
Câu 3. Chứng minh rằng phương trình 4 33 1 0x x x    có nghiệm. 
Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H): 
7 1
2
x
y
x



 tại điểm có hoành độ bằng 1. 
Câu 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a). 
3 2
5 1
3 4
x x
y x x     b). 2( 1) 1y x x   c). sin3 cosy x x 
Câu 6. Cho 
3 2
3 2
x
y
x



. Chứng minh rằng: 2 '2 . 1 0y x y   
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh 3AB a , AD a , có
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. 
a). Chứng minh rằng: ( )CD SAD và ( )BC SAB 
b). Tính độ dài đoạn thẳng SA. 
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SCD . 
-------------------------------------------------------------- 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
[Type text]