Chuyên đề Toán - Các dạng toán về số phức

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
	Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông mấy năm gần đây, các bài toán về số phức thường hay xuất hiện với các dạng toán như tìm phần thực, phần ảo, tìm môđun của số phức, giải phương trìnhbài viết này giới thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức. 
A. Tóm tắt lí thuyết
* Định nghĩa: Số phức là số có dạng , i là đơn vị ảo, tức là 
a gọi là phần thực của z, kí hiệu .
b gọi là phần ảo của z, kí hiệu .
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
* Các phép toán trên số phức:
+) Cho .
+) 
+) 
+) 
+)
* Mô đun của số phức, số phức liên hợp.
Cho số phức . Khi đó :
+) Đại lượng gọi là môđun của z. Kí hiệu 
+) Số phức gọi là số phức liên hợp của z.
B. Hệ thống bài tập
I. Các phép toán trên số phức
Ví dụ 1: Cho Tính 
Lời giải
Ví dụ 2. Tìm số phức z biết (1)
Lời giải:
Giả sử 
(1) 
Ví dụ 3. Cho . Tính ; ; 
Lời giải
+) 
+) 
+) 
Ví dụ 4. Tìm số phức z biết: 
Lời giải
Giả sử z=a+bi, ta có:
 	 . Vậy 
Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết: 
Lời giải
Giả sử z=a+bi
 .
Vậy phần ảo của z bằng -10
Ví dụ 6. Tìm môđun của z biết 
Lời giải
Ví dụ 7. (A+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 
 Tính môđun của số phức .
 Lời giải
 Giả sử z=a+bi
Ví dụ 8. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: 
 Tìm môđun của số phức 
 Lời giải
Giả sử 
 Do đó .
Ví dụ 9. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 
 Lời giải 
 Vậy 
Ví dụ 10. ( A-2011) Tính môđun của số phức z biết:
 Lời giải
 Suy ra .
Ví dụ 11. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức thỏa mãn 
 Lời giải
 Ta có 
 Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được . Vậy z=3+i. 
Bài luyện tập
Bài 1. Thức hiện phép tính:
	a. b. 	c. 
	d. 	e. 	f. 
g. 	 h. 	
Bài 2. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
 a. b. c. 
Bài 3. Tìm phần ảo của số phức z, biết: . 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: . 
	Xác định phần thực và phần ảo của z.
Bài 5. Tính mô đun của các số phưc sau:
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của . 
Bài 7. Tính mô đun của số phức z , biết . 
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn: 
Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn và . 
Bài 10. Tìm số phức z, biết: 
Bài 11. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 	
Bài 12. Tìm số phức z biết: .
II. Căn bậc của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức.
Định nghĩa: Cho số phức 
Căn bậc hai của số phức z là số phức thỏa mãn 
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của số phức 
Lời giải
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z
Ta có: 
Thay (2) vào (1) ta có: 
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức 
Lời giải
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z
Ta có: 
Thay (2) vào (1) ta có: 
Vậy z có hai căn bậc hai là 
Bài luyện tập
Tìm các căn bậc 2 của các số phức sau:
III. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
Xét phương trình 
Cách giải
Tính 
Gọi là căn bậc hai của , nghiệm của phương trình là: 
Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính 
Gọi là căn bậc hai của , nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Lời giải
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của 
Ta có: 
Thay (2) vào (1) ta có: 
Vậy có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i
Do đó nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Lời giải
 các căn bậc hai của là 
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 3. giải phương trình: 
Lời giải
Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên 
	Giải (2)
	Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i
	Do đó nghiệm của (2) là 
Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.
Ví dụ 4. Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình: . 
	 Tính .
	Lời giải
	Ta có . Vậy phương trình có hai nghiệm phức
	. Do đó .
Ví dụ 5. Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập 
 số phức tính tổng: .
	Lời giải
 	PT: (1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là 
 Thay và biểu thức ta có: 
Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức C: (1) 
	Lời giải
 Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( (2)
Đặt t= Khi đó 
Phương trình (2) có dạng : t2-t+ (3)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=, t=
Với t= ta có (4)
Có 
Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=, z=
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=; z=
Bài luyện tập
	Giải các phương trình sau:
	1. 
	2. 
	3. 
	4. 
	5. 
IV. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
Cách giải: Giả sử ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và b. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho là một số thuần ảo.
Lời giải
Giả sử , khi đó 
Tử số bằng 
	u là số thuần ảo khi và chỉ khi 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm , bán kính bằng , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).
Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 
Lời giải
Giả sử 
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0.
Ví dụ 3. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức biết số phức z 
 thỏa mãn: .
Lời giải
Giả sử 
Ta có 
Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn (kể cả những điểm nằm trên biên).
Bài luyện tập
Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
	a. 	b. 	c. 	d. 	e. 
	f. 	g. 	
V. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất
Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G nào đó. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Trường hợp 1: giả thiết G có dạng . Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau đó ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương.
Ví dụ 1. Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của |z|.
 Lời giải
	Giả sử , ta có
	Dấu = xảy ra khi 
	Vậy 
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 Lời giải
. Vậy 
Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng 
	Bài toán: Tìm GTNN, GTLN của 
	Ta có 
	Đặt . Khi đó 
	Do đó 
	Vì thế ở trường hợp 2 để tìm GTNN, GTLN của |z| ta đặt 
	Sau đó ta làm tương tự như bài toán trên.
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 Lời giải
Giả sử z=a+bi, ta có: 
Đặt 
Đặt 
. 
Dấu = xảy ra khi . Do đó 
Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của ta có thể sử dụng phương pháp hình học.
Ví dụ 4. Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của .
 Lời giải
 Giả sử là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức 
 Ta có . 
Vậy M thuộc đường tròn 
 . 
 Vậy N thuộc đường thẳng .
 Dễ thấy đường thẳng không cắt và .
 Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn và đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên , N chạy trên đường thẳng .
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30.
 Gọi H là giao điểm của d và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ . Vậy K(-1;3), L(-9;-3)
 Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra . Khi đó 
Bài luyện tập
1. Trong các số phức z thỏa mãn: , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2. Trong các số phức z thỏa mãn: , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ 
 nhất, lớn nhất.
 3. cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ 
 nhất của .
VI. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
Xét số phức dạng đại số: 
Ta có 
Nhận xét 
Đặt 	
Khi đó 
(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z, gọi là một acgumen của z.
Nhận xét: Nếu là một acgumen của z thì cũng một acgumen của z.
+ Nhân và chia số phức dạng lượng giác.
Cho 
. Khi đó 
Đặc biệt với 
 (**)
 (**) gọi là công thức moavơrơ.
Ví dụ 1. Viết số phức sau dạng lương giác: 
 Lời giải
Ví dụ 2. Tìm acgumen của số phức: 
 Lời giải
acgumen của z là 
Ví dụ 3. Cho . Tìm dạng đại số của 
 Lời giải
Áp dụng công thức moavơrơ ta có: 
Ví dụ 4. Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i
 Lời giải
Ví dụ 5.Tìm acgumen của .
 Lời giải
Vậy acgumen của z là 
Ví dụ 6. Biết . Tìm dạng đại số của 
 Lời giải
=
Ví dụ 7. Cho ; . Tìm dạng đại số của 
 Lời giải
 Suy ra 
Ví dụ 8. Tìm acgumen của 
 Lời giải
acgumen của z là 
Ví dụ 9. Tìm acgumen của 
 Lời giải
acgumen của z là 
Ví dụ 10. (B-2012)Gọi ; là 2 nghiệm phức của phương trình: , 
viết dạng lượng giác của ; .
 Lời giải
, 
Ví dụ 11. Tính tổng 
 Lời giải
 Ta có 
 Suy ra 
 Mặt khác 
 Từ đó 
Bài luyện tập
Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a.  ; b.  ; c. d. 
Bài 2. Viết dạng lượng giác số z =.Suy ra căn bậc hai số phức z:
Bài 3. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: 
 a. b. 
Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
 a. ; b. biết rằng 
VII. Một số bài toán về chứng minh
	Lời giải các bài toán về chứng minh thường dựa trên các tính chất về mô đun và liên hợp của số phức, chú ý rằng nếu các số phức có các điểm biểu diễn tương ứng là A, B thì . Từ đó suy ra:
	+) 
	+) 
	+) 
Ví dụ 1. Giả sử là các số phức khác không thỏa mãn gọi A, B là 
 các điểm biểu diễn tương ứng của . Chứng minh rằng tam giác OAB đều.
	Lời giải
 Ta có , suy ra:
.
Lại có
 nên 
	Suy ra AB=OA=OB đều.
Ví dụ 2. cho 3 số phức đều có mô đun bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
	Vì =1 nên 
	 (Đpcm)
Ví dụ 3. Cho số phức thỏa mãn Chứng minh rằng 
Lời giải
	Đặt . Ta có: . Suy ra:
	Do đó 
	Vì , nên (Đpcm).
Bài tập luyện tập
	Bài 1.Cho hai số phức đều có mô đun bằng 1. Chứng minh rằng là một số thực.
	Bài 2. Cho số phức thỏa mãn Chứng minh rằng 
	Bài 3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: hoặc .