Chuyên đề: Phương trình vô tỉ

38 trang
khoa-nguyen Lượt xem
983
3 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Phương trình vô tỉ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYÊN ĐỀ:PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. Phương trình vô tỉ cơ bản:
I.Kiến thức cơ bản và các dạng bài tập:
 1/Phương trình chứa căn thức cơ bản: 
Lưu ý:Đối với các phương trình không có dạng chuẩn như trên,ta thực hiện theo các bước:
	Bước 1:Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa.
	Bước 2:Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.
	Bước 3:Bình phương cả hai vế để khử căn.
2/Một số phương trình vô tỉ thường gặp khác:
	a/Dạng 1: (1)
	b/Dạng 2: với hay 
	Biến đổi phương trình về dạng 
	Bình phương hai vế,giải phương trình hệ quả
II.Các ví dụ và bài tập tự luyện:
VD1:Giải phương trình: 
Giải:
Phương trình viết lại dưới dạng:
Vậy phương trình có nghiệm x=3
VD2:Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: 
Phương trình được viết lại dưới dạng:
Vậy phương trình có nghiệm x=0
VD3:Giải phương trình:
Điều kiện: 
Phương trình.
VD4:Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình 
Bài tập tự luyện:Giải các phương trình sau:
1. 	2. 3. 	4. 5. 	6.
7. 	8. 9.	10. 	
11. 	 	12. 
13. 	14. 
15. 	16. 
17. 	18. 
VD5:Giải phương trình (*)
	Điều kiện: 
Với thì (*) luôn đúng là một nghiệm của phương trình (*).
Khi 
	 (phương trình dạng )
Khi 
	 (phương trình dạng )
VD6:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Nhận xét: điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Với thì (*) luôn đúng là một nghiệm của phương trình (*).
Với 
	 (phương trình dạng )
Bài tập tự luyện:
1/	2/
VD7:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Phương trình 
 	(Chú ý: (**) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (*) )
VD8:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Phương trình 
	(Chú ý: (**) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (*) )
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
VD9:Giải phương trình: (*)
VD10:Giải phương trình: (*)
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
B.Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về tích:
I.Kiến thức cơ bản:
	1/Sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa về tích số: 
	Một số biến đổi thường gặp:
,trong đó là hai nghiệm của phương trình 
Chia Hoocner để đưa về dạng tích số sau khi nhẩm được nghiệm đặc biệt của phương trình
Dùng các hằng đẳng thức cơ bản
	2/Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số
	3/Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn
II.Các ví dụ sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa về dạng tích số:
VD1:Giải phương trình: 
	Điều kiện: 
VD2:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/
VD3:Giải phương trình (*)
	Điều kiện 
VD4:Giải phương trình: (*)
VD5:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD6:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD7:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD8:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/
8/	9/
Phương trình dạng: 
VD9:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Nhận xét: điều kiện cần để phương trình có nghiệm là 
Cách 1:Phân tích thành tích số:
Cách 2:Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
	Đặt 
	 (xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn t)
	.
VD10:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Cách 1:Phân tích thành tích số:
Cách 2: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
	Đặt 
	 (xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn t)
	.
VD11:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
Cách 1:Phân tích thành tích số:
Cách 2: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
	Đặt 
	 (xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn t)
	.
VD12:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện:
Cách 1:Phân tích thành tích số:
Cách 2: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
Đặt 
	 (xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn t)
VD13:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện :
Cách 1:Phân tích thành tích số:
Cách 2: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
Đặt 
	 (xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn t)
VD14:Giải phương trình (*)
	Điều kiện: 
	Đặt .Khi đó:
Chú ý:Khi đặt thì có không phân tích thành bình phương của một đa thức nên ta không giải quyết được bài toán.
Vì vậy để phân tích thành bình phương của một đa thức thì ta phải điều chỉnh hệ số m đứng trước ,tức là nhân vào hai vế của ta được (**)
Cộng (*) và (**) vế theo vế rồi thu gọn ta được: (***)
Khi đó ta có .Khi đó có dạng bình bương của một đa thức 
 .Thay vào (***) ta được phương trình cần tìm.
VD15:Giải phương trình: (*)
	Đặt .Khi đó:
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
III.Các ví dụ sử dụng nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số:
Dạng 
Hướng 1:Nếu ghép và phân tích thành tích số mà xuất hiện nhân tử chung thì ta liên hợp dạng .Nếu không xuất hiện nhân tử chung thì ta xây dựng bài toán theo hướng 2.
Hướng 2:Nhẩm nghiệm trên miền xác định bằng máy tính bỏ túi.Thêm bớt một lượng thích hợp để xuất hiện nhân tử chung 
VD1:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD2:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/Giải phương trình:
2/
3/Giải phương trình:
VD3:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	 (bình phương hai vế,đặt ẩn phụ)
VD4:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:R
Lấy 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
VD5:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
 (2)
Hàm số nghịch biến trên (tự chứng minh)
	 (3)
Từ (2) và (3) suy ra phương trình (1) vô nghiệm.
VD6:Giải phương trình: (Khối B-2010) (*)
	Điều kiện: 
VD7:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
11/	12/
13/	14/
15/	16/
VD8:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD9:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:R
VD10:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	
VD11:Giải phương trình (*)
	Tập xác định:R
Phương trình (1) không có nghiệm khác 3.
Vậy phương trình có 1 nghiệm 
VD12:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:R
VD13:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
VD14:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
	Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:
VD15: Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
	Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:
VD16: Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
	Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình nên ta có:
VD17:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD18:Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
VD19:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
VD20: Giải phương trình (*)
	Điều kiện: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
IV.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.Phương trình dạng 
Phương pháp:đặt 
VD1:Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: .
Đặt t=.Khi đó phương trình có dạng:
 2t2+t-3=0
Với t=1 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: 
Bài tập tự luyện:
1/ 	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
11/ 	12/
13/	14/
2.Phương trình dạng tổng-tích
a.Phương trình có dạng :
Phương pháp :
Loại 1 :Đặt 
VD1:Giải phương trình:
VD2:Giải phương trình:
VD3:Giải phương trình:
VD4:Giải phương trình:
VD5:Giải phương trình:	
VD6:Giải phương trình:
b.Loại 2 :Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích:
Phân tích biểu thức nằm ngoài dấu căn.Đặt 
VD1:Giải phương trình:
 Ta có:
Đặt 
Phương trình 
VD2:Giải phương trình:
Ta có:
Đặt 
Phương trình
VD3:Giải phương trình:.Chú ý:
VD4:Giải phương trình:.Chú ý: 
Bài tập tự luyện:Giải các phương trình sau:
1/	2/
3/ 4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
11/	12/
13/	14/
3.Đặt một hoặc hai ẩn phụ chuyển về phương trình đẳng cấp bậc hai:
VD1:Giải phương trình:.
VD2:Giải phương trình:
VD3:Giải phương trình 
Phân tích 
VD4:Giải phương trình:
Phân tích 
VD5:Giải phương trình:
Chú ý: 
VD7:Giải phương trình: 
Chú ý: 
Bài tập tự luyện:Giải các phương trình:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
4.Phân tích f(x)=m.g2(x)+n.h2(x)
VD1:Giải phương trình:.
Phân tích 
VD2:Giải phương trình:.
Phân tích 
Bài tập tự luyện:Giải các phương trình:
1/	2/
3/ 4/
5.Phương pháp đồng nhất thức:
VD1:Giải phương trình 
VD2:Giải phương trình 
VD3:Giải phương trình 
VD4:Giải phương trình 
6.Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II:
	a/Dạng tổng quát: 
Phương pháp:Đặt .Khi đó ta thu được hệ phương trình: 
VD1:Giải phương trình: (1)
	Tập xác định:D=R
	Đặt (2)
Từ (1) và (2) 
VD2: Giải phương trình: (1)
	Tập xác định:D=R
	Đặt (2)
Từ (1) và (2) 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
	b/Dạng tổng quát: 
Phương pháp:Đặt nếu và để đưa phương trình 
về hệ phương trình đối xứng loại II hoặc nửa đối xứng loại II.
VD3:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Đặt 
Từ (1) và (2) 
VD4:Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Đặt 
Khi đó ta có hệ phương trình: 
VD5: Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Đặt 
Khi đó ta có hệ phương trình: 
VD6: Giải phương trình: (*)
	Điều kiện: 
	Đặt 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
VD7: Giải phương trình: (*)
	Tập xác định:D=R
	Đặt 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
VD8: Giải phương trình: 
	Tập xác định:D=R
	Đặt 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
11/	12/
13/	14/
15/	16/
Phương trình dạng: 
Phương pháp:Đặt ta sẽ thu được hệ phương trình đối xứng loại II.
VD9:Giải phương trình: 
	Điều kiện:???
Đặt .Khi đó:
VD10:Giải phương trình: 
	Điều kiện:???
Đặt .Khi đó:
Bài tập tự luyện:
1/
2/
3/
VD11:Giải phương trình: 
VD12:Giải phương trình: 
VD13:Giải phương trình: 
VD14:Giải phương trình: 
VD15:Giải phương trình: 
VD16:Giải phương trình: 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
VD17:Giải phương trình: 
VD18:Giải phương trình: 
Bài tập tự luyện:
1/
2/
3/
V.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình vô tỉ:
Định lí:Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình không nhiều hơn một và 
Định lí: Nếu hàm số luôn đồng biến liên tục trên D thì 
Định lí: Nếu hàm số luôn nghịch biến liên tục trên D thì 
*Phương trình dạng:
	Hàm cơ bản:	
*Phương trình dạng:
VD1:Giải phương trình 
Tập xác định:D=R
Phương trình
Trong đó 
VD2:Giải phương trình 
Tập xác định:D=R
Phương trình
Trong đó 
VD3:Giải phương trình:
Tập xác định:D=R
Phương trình
Trong đó 
VD4:Giải phương trình:
Tập xác định:D=R
Phương trình 
Trong đó 
VD5:Giải phương trình:
Tập xác định:D=R
Phương trình 
Trong đó 
VD6:Giải phương trình:
Tập xác định:D=R
Phương trình (1)
Đặt .Khi đó 
Trong đó 
VD7:Giải phương trình: (*)
Điều kiện :
Nhân hai vế của (*) cho ta được:
Trong đó 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
	ĐS:	ĐS:
3/	4/
	ĐS:	ĐS:
5/	6/
	ĐS:	ĐS:
7/	8/
	ĐS:	ĐS:
9/	10/
	ĐS:	ĐS:
VD9:Giải phương trình: (*)
Tập xác định: 
Trong đó 
VD10:Giải phương trình:
Tập xác định: 
Phương trình 
Trong đó 
VD11:Giải phương trình:
Tập xác định:D=R
Phương trình 
Trong đó 
VD12:Giải phương trình:
Tập xác định: 
Phương trình
Trong đó 
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình:
1/	2/
	ĐS:	ĐS:
3/	4/
	ĐS:	ĐS:
5/	6/
	ĐS:	ĐS:
B.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1.Biến đổi về tổng các số không âm hoặc để giải phương trình vô tỉ
* Dùng các biến đổi hoặc tách ghép(chủ yếu là hằng đẳng thức) để đưa về dạng tổng các số không âm mà ta đã biết cách giải.
* Biến đổi đưa phương trình về dạng nếu n lẻ và nếu n chẵn.
VD1: (*)
Giải:
Điều kiện 
(*)
VD2:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình
VD3:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
VD4:
Điều kiện 
Phương trình 
VD5:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
Bài tập tự luyện:
1/	ĐS:
2/	ĐS:
3/	ĐS:
4/	ĐS:
5/	ĐS:
6/	ĐS:
7/	ĐS:
8/
VD6:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình
VD7:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
VD8:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
VD9:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
Bài tập tự luyện:
1/	ĐS:
2/	ĐS:
3/	ĐS:
4/	ĐS:
2.Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để giải phương trình vô tỉ:
* Thông thường ta dựa vào hai ý tưởng sau:
 a. Biến đổi phương trình về dạng (a là hằng số) mà trong đó ta dùng bất đẳng thức chứng minh được kết quả .Lúc đó nghiệm của phương trình là tất cả các giá trị của x thỏa mãn dấu “=” xảy ra.
 b. Biến đổi phương trình về dạng mà trong đó ta dùng bất đẳng thức chứng minh được (a là hằng số).
Lúc đó nghiệm của phương trình là tất cả các giá trị của x thỏa hệ:
* Các bất đẳng thức cổ điển thường gặp:
 a. Bất đẳng thức Cauchy (M-G)
 Với .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b
 Với .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
 b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 
 Với a,b,x,y bất kì ta luôn có:
 Dấu « = » xảy ra 
 Với a,b,c,x,y,z bất kì ta luôn có:
 Dấu « = » xảy ra 
VD1 :
Giải :
Điều kiện 
Ta có 
Dấu « = » xảy ra 
VD2 :
Giải :
Điều kiện 
Phương trình 
Ta có 
Dấu « = » xảy ra 
VD3 : (VT có dạng và nên ta sử dụng Bunhia)
Giải :
Điều kiện 
Ta có 
Suy ra nghiệm của phương trình thỏa hệ phương trình 
VD4 :
Giải :
Điều kiện 
Ta có : 
Suy ra nghiệm của phương trình thỏa mãn hệ phương trình 
VD5 :
Giải :
Ta có 
Suy ra nghiệm của phương trình là x=-1
Bài tập tự luyện :
1/	ĐS :
2/	ĐS :
3/	ĐS :
4/	ĐS :
5/	ĐS:
6/	ĐS:
7/	ĐS:
VD6:
Giải:
Điều kiện 
Ta có 
Từ (1) và (2) 
Dấu “=” xảy ra 
VD7:
Giải:
Điều kiện 
Phương trình 
Ta có: 
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra 
VD8:
Giải:
Điều kiện 
Ta có 
Dấu “=” xảy ra 
VD9:
Điều kiện:
Ta có: 
Ta lại có: 
Dấu “=” xảy ra 
VD10:
Giải:
Điều kiện:
Phương trình (vì x=0 không thỏa phương trình)
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Bài tập tự luyện:
BT1:
BT2:
BT3:
BT4:
BT5:
3.Sử dụng bất đẳng thức vec-tơ để giải phương trình vô tỉ:
Trong mặt phẳng Oxy,cho .Khi đó:
* 
*
*
Để vận dụng giải phương trình vô tỉ,ta cần biến đổi và chọn tọa độ thích hợp nhằm vận dụng linh hoạt dấu “=” xảy ra của các bất đẳng thức vec-tơ sau:
a. .Dấu “=” xảy ra
b. . Dấu “=” xảy ra
c. . Dấu “=” xảy ra
d.. Dấu “=” xảy ra 
VD1: 
VD2: 
VD3: 
VD4: 
VD5: 
Bài tập tự luyện:
BT1:	BT2:
	ĐS:	ĐS:
BT3:	BT4:
	ĐS:	ĐS:
BT5:	ĐS:
BT6:	ĐS:Vô nghiệm
VD6: 
VD7: 
VD8: 
Bài tập tự luyện:
BT1:	BT2:
	ĐS:	ĐS:
BT3:	BT4:
	ĐS:	ĐS:
BT5:	ĐS:
VI:Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa:
VD1:Giải phương trình: 
	Điều kiện: .Đặt 
Phương trình 
VD2:Giải phương trình: 
	Điều kiện: .Đặt .Khi đó
Phương trình
VD3:Giải phương trình: 
	Điều kiện: .Đặt 
Phương trình
VD4:Giải phương trình: 
Điều kiện: .Đặt 
Phương trình 
VD5:Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Với thì nên phương trình vô nghiệm
Với .Đặt 
Bài tập tự luyện:
1/	2/
3/	4/
5/	6/
7/	8/
9/	10/
Tài liệu đính kèm:
cac_phuong_phap_giai_phuong_trinh_vo_ti.doc