Các bổ đề Hình học

 I. CÁC BỔ ĐỀ VỚI CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC: 
1. Nếu 1 tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền hoặc một cạnh 
góc vuông bằng cạnh huyền nhân 
√ 
 hoặc cạnh huyền bằng một cạnh góc vuông nhân 
 √ 
 thì tam giác vuông ấy có 1 góc bằng 300 và 1 góc bằng 600. 
2. Cho ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. 
2.1. H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF. 
2.2. Trong các tam giác mà các đỉnh lần lượt thuộc cạnh của ABC , DEF có chu 
vi bé nhất. (Định lý Fagnano). 
2.3. Vị trí của A, H đổi nhau nếu  0 . Khi đó A là giao điểm 3 đường phân 
giác của DEF. 
3. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Nếu M, N lần lượt là đối xứng của D 
qua AB, AC thì M, N, F thẳng hàng. 
D
E
F
H
B
C
A
 4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM: 
 .1.
{
 AM 
BC
2
 Â 0 
AM 
BC
2
 Â 0 
AM 
BC
2
 Â 0 
4.2. {AB AC MAB̂ MAĈ
AB AC AMB̂ AMĈ
4.3. Nếu E AB,F AC,EF//BC thì AM qua trung điểm N của EF. 
5. Cho tam giác ABC. Lấy D nằm giữa B và C, E nằm trên đường thẳng BC nhưng không 
nằm giữa B, C. 
 Nếu 
 thì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC. 
 Nếu 
 thì AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC. 
 Nếu AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và phân giác ngoài, m là đường 
thẳng bất kì không qua A cắt AB, AC, AD, AE lần lượt tại M, N, P, Q thì 
PM
PN
QM
QN
MP
MQ
NP
NQ
N
M
D
E
F
H
B
C
A
 6. Cho tam giác ABC nội tiếp (O R) có H là trực tâm, G là trọng tâm. M, N, P lần lượt là 
trung điểm của BC, CA, AB. 
 AH 2OM BH 2ON CH 2OP 
 H, G, O thẳng hàng và GH 2GO 
7. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 O nằm trong tam giác ABC nhọn 
 O nằm trong góc BAC và nằm ngoài tam giác  0 
8. Cho tam giác ABC. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. M, N là hình chiếu của A 
lên các phân giác ngoài và trong tại đỉnh B. P, Q là hình chiếu của A lên các phân giác 
trong và ngoài tại đỉnh C. Ta có M, N, P, Q, E, F thẳng hàng. 
N
M
DE B
C
A
Q
P
10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác, I là 
tâm đường tròn nội tiếp. 
 I là trực tâm tam giác MNP 
 (I r), (M r ), (N r ), (P r ) lần lượt là các đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của 
tam giác ABC. D, E, F là các tiếp điểm của I với BC, CA, AB. H, J, K là các tiếp điểm 
của (M) với BC, AB, AC. Ta có 
{
2AE 2AF AB AC BC
2AJ 2AK AB AC BC
 Hệ quả 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và r, r , r là bán kính các 
đường tròn nội tiếp ABC, HAB, HAC. R,R ,R lần lượt là bán kính các đường tròn 
bàng tiếp trong góc vuông của các tam giác ABC, ABH, ACH. Ta có: 
 r r r AH. 
 R R R AB BC CA AH 
 Hệ quả 2: Nếu tam giác ABC vuông ở A có BC cố định thì: 
 max(r r r ) 
 AB AC 
 max(R R R) 
 ( √ )
 AB AC 
II. CÁC BỔ ĐỀ VỀ TỨ GIÁC: 
1. Trung điểm các cạnh của 1 tứ giác là các đỉnh của 1 hình bình hành hoặc trung điểm 
2 cạnh đối và 2 đường chéo là đỉnh của 1 hình bình hành. (nếu chúng không thẳng 
hàng). 
2. Nếu tứ giác có 2 cạnh đối bằng nhau thì trung điểm 2 cạnh còn lại và trung điểm 2 
đường chéo là đỉnh của 1 hình thoi. 
3. Trong hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm 2 đường thẳng chứa 2 
cạnh bên, giao điểm 2 đường chéo và trung điểm 2 đáy cùng nằm trên 1 đường thẳng. 
 4. Trong tứ giác lồi, tích độ dài 2 đường chéo bé hơn hoặc bằng tổng các tích 2 cạnh 
đối (bất đẳng thức Ptolemy). Đẳng thức xảy ra  Tứ giác nội tiếp 
5. Trong tứ giác lồi, tổng dài độ dài 2 đường chéo bé hơn chu vi và lớn hơn nửa chu 
vi tứ giác ấy. 
6. Trong tứ giác lồi, tổng độ dài 2 cạnh đối lớn hơn hoặc bằng 2 lần đoạn thẳng nối 
trung điểm 2 cạnh còn lại. Đẳng thức xảy ra  2 cạnh đối ấy song song. 
7. Nếu 1 tứ giác nội tiếp và có 2 đường chéo vuông góc tại J thì 1 đường thẳng qua J sẽ 
vuông góc với 1 cạnh khi và chỉ khi đường thẳng ấy qua trung điểm cạnh đối diện 
(định lý Brahma Gupta) 
8. Tứ giác điều hoà: Tứ giác nội tiếp có tích các cặp cạnh đối bằng nhau gọi là tứ giác 
điều hoà. 
8.1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. 
 Đường phân giác của 2 góc BAD̂ CAD̂ đi qua 1 điểm trên BD  AB.CD 
AD.BC 
 Hệ quả: Nếu phân giác các góc BAD̂ CAD̂ đi qua 1 điểm trên BD thì phân giác 
các góc ABD̂,ACD̂ đi qua 1 điểm trên AC. 
8.2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường chéo AC không đi qua tâm O. 
 Tiếp tuyến với (O) tại A, C và BD đồng quy  AB.CD AD.BC 
 Hệ quả: Nếu AC, BD không qua tâm O thì tiếp tuyến với (O) tại A, C và BD đồng 
quy  tiếp tuyến với (O) tại B, D và AC đồng quy 
8.3. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA. Ta có M là trung điểm của 
PN  AB.CD AD.BC 
8.4. Gọi K là trung điểm của AC. 
 AC là phân giác góc BKD̂  AB.CD AD.BC 
 Hệ quả: I là trung điểm của BD. AC là phân giác góc BKD̂  BD là phân giác góc 
AIĈ. 
8.5. I là trung điểm của đường chéo BD. AC, AM đối xứng nhau qua phân giác của góc 
BAD̂  AB.CD AD.BC 
III. CÁC BỔ ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN 
1. Cho (O R) và điểm M không thuộc đường tròn. Qua M vẽ đường thẳng cắt (O) tại 2 
điểm A, B. Khi đó tích MA.MB không phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB. 
 M ở trong (O R): MA.MB R OM 
 M ở ngoài (O R): MA.MB OM R MT ( MT là tiếp tuyến tới (O)). 
2. Hệ quả: 
2.1. Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại N. AB, CD cắt nhau tại M. 
a) Nếu MA.MB MC.MD hoặc NA.NC NB.ND thì ABCD nội tiếp. 
b) Nếu ABCD nội tiếp thì MA.MB MC.MD NB.ND NA.NC. 
2.2. Cho tam giác ABC. Nếu M thuộc tia đối của tia BC mà MB.MC MA thì MA là tiếp 
tuyến đường tròn (ABC). 
3. Trục đẳng phương: 
 Trục đẳng phương của 2 đường tròn (O R) và (O’ R’) là tập hợp những điểm có 
cùng phương tích với 2 đường tròn ấy: 
H M/ OM R O M R } 
 Trục đẳng phương của 2 đường tròn là 1 đường thẳng vuông góc với đường 
thẳng qua 2 tâm. 
 Nếu (O), (O’) cắt nhau tại A, B thì đường thẳng AB là trục đẳng phương của (O) 
và (O’) 
 Nếu (O), (O’) tiếp xúc nhau thì trục đẳng phương là tiếp tuyến trong chung của 
2 đường tròn. 
 Nếu (O), (O’) không có điểm chung, vẽ (I) cắt (O) tại A, B cắt (O’) tại C, D và AB, 
CD cắt nhau ở M. Đường thẳng qua M vuông góc với đường nối tâm OO’ là trục 
đẳng phương của (O) và (O’). 
4. Cho (O R) và (O’ R’) (R R ). Đặt OO d. Gọi m là trục đẳng phương của (O) và 
(O’). m cắt OO’ tại H. 
 .1 R R OH O H 
 .2.OH 
1
2d
(d R R ) 
5. Trục đẳng phương đi qua trung điểm các đoạn tiếp tuyến chung của 2 đường tròn 
(suy ra có thể vẽ trục đẳng phương bằng cách nối trung điểm các đoạn tiếp tuyến 
chung của 2 đường tròn) 
 Hệ quả: Nếu xem 1 điểm là đường tròn có bán kính là 0, ta có trục đẳng phương của 
(O R) và đường tròn điểm A là đường thẳng qua trung điểm 2 tiếp tuyến AB, AC của 
(O). 
6. Cho (O R) và (O’ R’) có trục đẳng phương m. Nếu từ 1 điểm M vẽ tiếp tuyến MN, cát 
tuyến MAB tới (O), tiếp tuyến MP, cát tuyến MCD tới (O’) thì tam giác MNP cân tại M 
và A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn. 
 7. Tâm đẳng phương: Cho (O R ) (O R ) (O R ). Gọi m ,m ,m lần lượt là trục 
đẳng phương của 3 cặp đường tròn trên. 
 Nếu O ,O , O thẳng hàng thì m // m // m . 
 Nếu O ,O , O không thẳng hàng thì m ,m ,m đồng quy tại 1 điểm P. P gọi là 
tâm đẳng phương và có cùng phương tích với 3 đường tròn trên. 
8. Tiếp tuyến của đường tròn: Cho A nằm ngoài (O R). Vẽ tiếp tuyến AB, AC tới (O) 
(A, B là tiếp điểm). Lấy M trên đoạn AB, N trên đoạn AC. 
 ABC đều OA 2R AB R√3 
 ABOC là hình vuông OA R√2 AB R 
 OA cắt (O) tại I, K (AI AK) thì I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng 
tiếp ABC. 
 MN là tiếp tuyến của (O) MN MB NC AM MN AN 2AB 
MON̂ BOĈ.
 Nếu MN tiếp xúc (O) tại I: P min max I là điểm chính giữa cung 
BC. 
9. Đường tròn ngoại tiếp: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O R). 3 đường cao AD, BE, 
CF đồng quy tại H. I, J, K lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. M, N, P lần lượt là 
trung điểm của BC, CA, AB. 
 điểm D, E, F, I, J, K, M, N, P thuộc đường tròn (Q 
) (đường tròn Euler, tâm Q 
là trung điểm của OH). 
 Các điểm A’, B’, C’ đối xứng H qua BC, CA, AB thuộc (O). 
Các tính chất trên vẫn đúng khi BAĈ 0 . 
 Cần phân điểm trên thành 3 nhóm: 
a. Nhóm trung điểm các cạnh của tam giác. 
b. Nhóm các chân đường cao 
c. Nhóm trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh. 
Trong thực tế ít khi đề bài yêu cầu chứng minh cả điểm thuộc đường tròn (vì dài 
nhưng  dễ!). Đôi khi chọn mỗi nhóm 1 điểm và đổi cách phát biểu, tự nhiên ta thấy 
lạ và khó. VD: 
 Chứng minh JFKN nội tiếp 
 Cho B, C cố định. A di động sao cho BAĈ 0 . Chứng minh đường tròn ngoại 
tiếp tam giác JFN luôn đi qua 1 điểm cố định. 
10. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D, E, F lần lượt là điểm chính giữa các cung 
BĈ,CÂ,AB̂ nhỏ. Ta có các đường tròn tâm D qua A, B tâm E qua B, C tâm F qua C, A 
đồng quy tại tâm tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
 11. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm bất kì trên (O) (M không trùng A, B, C). 
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. M ,M ,M lần lượt đối xứng với 
M qua AB, BC, CA. L là trực tâm tam giác ABC. 
 H, I, K thẳng hàng (đường thẳng impson). 
 M ,M ,M ,L thẳng hàng. (đường thẳng Steiner)
12. Cho tam giác ABC nội tiếp (O): 
 A, C cố định, B di động trên cung AĈ thì chu vi và diện tích tam giác ABC lớn 
nhất  B là điểm chính giữa cung AĈ. 
 uy ra: Tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O) có đường chéo AC cố định có chu vi và 
diện tích lớn nhất  B, D là các điểm chính giữa 2 cung AĈ. 
 Trong các tam giác nội tiếp (O), tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất. 
 Trong các tứ giác lồi nội tiếp (O), hình vuông có chu vi và diện tích lớn nhất. 
13. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O R). M BĈ, AM cắt BC tại D. 
 MB MC MA 
 
14. Tổng quát hơn: 
 Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp (O R) và BĈ 120 . AM cắt BC ở D thì: 
a) MB MC MA 
b) 
1
MB
1
MC
1
MD
 Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp (O R) và BĈ 120 . AM cắt BC ở D thì: 
a) MB MC MA 
b) 
1
MB
1
MC
1
MD
15. Các cung đặc biệt và độ dài dây tính theo R: 
 ố đo cung ̂ Độ dài dây BC 
1 0 BC 2R 
1 0 BC 
R(√6 √2 )
2
120 BC R√3 
 0 BC R√2 
60 BC R 
30 BC 
R(√6 √2 )
2
16. Đường tròn nội tiếp: 
16.1. Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O)  AB CD AD BC 
16.2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O R) và có đường tròn nội tiếp (I r). Gọi M, N, P lần 
lượt là điểm chính giữa các cung BĈ,CÂ,AB̂. Ta có: 
 M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC 
 Tâm các đường tròn ngoại tiếp (AIB), (BIC), (CIA) thuộc (O) 
 OI √R(R 2r) 
 R 2r