Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 53

ĐỀ THI THỬ SỐ 1 
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1
2
xy
x



 (1). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0. 
Câu 2 (1,0 điểm). 
a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 3cos cos cos .
3 3 2
x x x           
   
b) Giải phương trình 2 22log ( 3) 8log 2 1 4.x x    
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 
0
( sin ) .I x x x dx

  
Câu 4 (1,0 điểm). 
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( 1) 3 (5 )z z i i    . Tính môđun của z. 
b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn 
lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức 
chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng 
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, 
 060 ,BAC  cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM. 
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện  090 ,AIB  chân đường cao kẻ từ A 
đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng 
đỉnh A có hoành độ dương. 
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và 
C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho 
thể tích khối tứ diện MABC bằng 5. 
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình  2 224 23( 2) 1 3 1 .1x x x xx x       
Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 .S x y z   
---------------- Hết ---------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh; Số báo danh.... 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành  Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl
 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Môn: TOÁN 
(Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang) 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
1 2,00 
a (1,00 điểm) 
  TXĐ: D = \{ 2}. 
 Giới hạn và tiệm cận: 
2 2
lim 2; lim ; lim
x x x
y y y
   
     
  Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2. 
0,25 
 Sự biến thiên: 2
3' 0, \{ 2}
( 2)
y x
x
    

 
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–;–2) và (–2;+). 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
 Hàm số không có cực trị. 
0,25 
 Đồ thị: 
0,25 
b (1,00 điểm) 
 Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x0) = 3. 0,25 
Ta có phương trình 0202
00
13 3 ( 2) 1
3.( 2)
x
x
xx
 
        
 0,25 
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là: 
3 2, 3 14y x y x    . 0,25 
Từ giả thiết ta được 3 2.y x  0,25 
 2
2 1,00 
a (0,5 điểm) 
Ta có 3 1 2 4cos 2 cos 2 cos 2
2 2 3 3
A x x x              
    
 0,25 
    3 1 3 1 3cos 2 2cos 2 cos cos 2 cos 2 .
2 2 3 2 2 2
x x x x            
  
 0,25 
b (0,5 điểm) 
ĐK: 
1 , 3.
2
x x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với 
2 2 2
3
4 log 3 4log (2 1) 4 log 1
2 1
x
x x
x

     

0,25 
3 4 23
2 3 4 2 1.
3 4 22 1
x xx
x x x
x xx
   
             
Phương trình có nghiệm 1.x  
0,25 
3 1,00 
 3 3
2
0 0 00
( sin ) sin sin .
3 3
xI x x x dx x xdx x xdx
  
        0,25 
Tính 1
0
sin .I x xdx

  
Đặt 
sin cos .
u x du dx
dv xdx v x
  
 
   
0,25 
1 0 0
0
cos cos sin .I x x xdx x

         0,25 
3
.
3
I     0,25 
4 1,0 
a (0,5 điểm) 
Đặt , ( , )z a bi a b   . Khi đó: 
2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0.z z i i a bi a bi i a b i                
0,25 
1
2.
1
a
z
b

  

 0,25 
b (0,5 điểm) 
Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5 
bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. 
Ta có 5 5 5 520 15 10 5C C C C  cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D. 
0,25 
Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có 5 5 515 10 5C C C cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại 
Do vai trò các nhóm như nhau, có 5 5 515 10 54C C C cách chia các bạn vào các nhóm A, B, 
C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm. 
Xác suất cần tìm là: 5
20
4 1( )
3876
P X
C
  . 
0,25 
5 1,00 
 3
 Xét tam giác ABC có 
0
2
tan 60 2 3
2 3.ABC
BC AB a
S a
 
 
0,25 
2 3
.
1 1. 3.2 3 2 .
3 3S ABCD ABC
V SA S a a a   0,25 
- Gọi N là trung điểm cạnh SA. 
Do SB // (CMN) nên 
( , ) ( , ( ))
 ( , ( ))
 ( , ( )).
d SB CM d SB CMN
d B CMN
d A CMN



- Kẻ ,AE MC E MC  và kẻ 
,AH NE H NE  
Chứng minh được 
( )AH CMN ( , ( )) .d A CMN AH  
0,25 
Tính 2 AMCSAE
MC
 trong đó: 
 21 1 3. .sin .4 . 3 2 3 .2 2 2
13
13
AMCS AM AC CAM a a a aAE
MC a


   
 
 
Tính được 
2 3 2 3 2 3( , ( )) ( , ) .
29 29 29
a a aAH d A CMN d SB CM     
0,25 
6 1,00 
 Do  090AIB    045ACB  hoặc 
 0135ACB   045ACD   tam giác 
ACD vuông cân tại D nên DA = DC. 
 Hơn nữa, IA = IC. 
Suy ra, DI  AC  đường thẳng AC 
thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và 
AC vuông góc ID. 
0,25 
Viết phương trình đường thẳng AC: 2 9 0x y   . 
Gọi (2 9; )A a a AC  . Do 2 ( , ) 2 10DA d D AC  nên 
0,25 
2 2 2 1 ( 7;1)(2 8) ( 1) 2 10 6 5 0
5 (1;5)
a A
a a a a
a A
  
           
Theo giả thiết bài cho  (1;5)A . 
0,25 
Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi ( 3 4; ).B b b  
Tam giác IAB vuông tại I nên 
. 0 3( 3 2) 4( 1) 0 2IA IB b b b         
 
(2; 2).B  
Đáp số: (1;5), (2; 2).A B  
0,25 
7 1,0 
 Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0).I 0,25 
Bán kính của (S) là 3
2
ABR   . 
Phương trình của (S): 2 2 2( 2) ( 3) 3.x y z     
0,25 
 4
Gọi (0;0; )M t Oz . Do VMABC = 5 nên 1 [ , ] 5
6
AB AC AM 
  
11 4 5.t   0,25 
1 (0;0;1)11 4 15
11 4 15 13 1311 4 15 (0;0; ).
2 2
t Mt
t
t t M
              

 0,25 
8 1,00 
 ĐK: 1.x  
Với điều kiện đó 
   
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
8 26( 2) 2 6 1 0
1
4 2 3 1 1 2 5 0.
1
BPT x x x x x
x x
x x x x x x
x x
       
 
 
              
0,25 
Xét hàm số 4 2( ) 5
1
f t t
t
  

 với 0.t  Ta có 2 2'( ) 1 .
( 1) 1
f t
t t
 
 
 '( ) 0 1.f t t   
 Bảng xét dấu 
Suy ra ( ) (1), [0;+ ) ( ) 0, [0;+ ).f t f t f t t         Dấu “=” xảy ra  t = 1. 
0,25 
Do 2 2
2
4 20, [0;+ ) 5 0, [0;+ ).
1
x x x x x x
x x
            
 
Dấu “=” xảy ra khi 2 1 51 .
2
x x x     
0,25 
Khi đó:    2 22 2 224 23 1 1 2 5 01x x x x x xx x
 
             
2
2
2
2
1 0
1 51 0 .
2
4 2 5 0
1
x x
x x x
x x
x x

   

     


   
 
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 5[1; ) \
2
S
     
  
. 
0,25 
9 1,00 
 Ta có: 2( ) ( 7)x y z xy   . Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0. 
Khi đó, từ giả thiết ta được 2( ) .
7
x yz
xy



Suy ra: 4( )( ; ) 2
7
x yS f x y x y
xy

   

 với điều kiện 0, 0, 7x y xy   (*) 
0,25 
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được: 
2
'
2 2
4( 7) 4 ( ) 28 4( ; ) 1 1 .
( 7) ( 7)y
xy x x y xf x y
xy xy
   
   
 
' 2 2 2
0 2
7 7( ; ) 0 14 21 4 0 2 1 .yf x y x y xy x y x x
          
 5
Suy ra: 0 2
11 7( ; ) 2 4 1 .f x y x
x x
    
0,25 
Xét hàm số 2
11 7( ) 2 4 1g x x
x x
    với x > 0 với 2
3
2
11 28'( ) 2 .
71
g x
x x
x
  

'( ) 0 3.g x x   
Khi đó ( ) (3) ( ) 15.g x g g x   
0,25 
Với điều kiện (*), ta có 0( ; ) ( ) 15.S f x y g x   
Vậy min 15S  khi 3, 5, 2.x y z   
0,25 
------------ Hết ------------- 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành  Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl