Bài tập Nguyên hàm – Tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
Phần A: NGUYÊN HÀM 
Bài 1. Nguyên hàm cơ bản và mở rộng theo công thức: 
1
f (ax b)dx F(ax b)
a
   
a. 9(2x 3) dx b. 4
1
dx
(4 3x)
 c. 5x 17dx d. 
6 10 7xdx 
e. 
3
2
dx
(2x 1)
 f. 
3
dx
1 2x
 g. 
2
12
dx
(3x 4)
 h. 7 6xe dx 
i. 
3x 2
2x 3
2 3e
dx
e



 j. cos(5x 8)dx k. 
2sin (3x 1)dx ℓ. 2 2
9 4
( )dx
sin 3x cos 2x
 
Bài 2. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai 
a. 
x 3
dx
x 2


 b. 
22x 5
dx
x 2


 c. 
2
dx
(x 1)(x 1) 
 d. 
5
dx
(2x 3)(4 x) 
e. 
2
4
dx
25 4x
 f. 
2
4
dx
4x 5x 1

 
 g. 
2
2x 1
dx
x x 2

 
 h. 
2
x 5
dx
x 2x 1

 
i. 
2
4x 9
dx
2x 3x 1

 
 j. 
2
2
4x 4x
dx
x 2x 3

 
 k. 
2
2
8x
dx
4x 4x 1 
 ℓ. 
2
3
dx
x 4x 7 
m. 
2
2x 3
dx
x 6x 12

 
 n. 
2
2
x 6x 7
dx
x 2x 5
 
 
 p. 
3
2
x
dx
x x 1 
Bài 3. Nguyên hàm các hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao 
a. 
3
dx
x 8
 b. 
4 2
4
dx
x 5x 4 
 c. 
4 2
2x
dx
x 2x 1 
 d. 
3
4 2
2x
dx
x 4x 3 
e. 
2
2
dx
x(x 1)
 f. 
9
16
dx
x(1 x )
 g. 
4
2xdx
x 4
 h. 
2
3
x 7
dx
(x 1) 8

 
Bài 4. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 
a. 2 3 59x (x 6) dx b. 
3 43x 16 x dx c. 
2x 22 xdx d. 
2
3
3
(log x) dx
x
e. 
2
2 1
sin( )dx
x x
 f. 
3ln x
dx
x(ln x 1)
 g. 3sin 2xcos2xdx h. 
4sin2x cos xdx 
i. 
2
(cosx sin x)dx
(sin x cosx)


 j. sin2x 4cosx 3dx k. 
2x
x
2e
dx
1 e
 ℓ. 
x x
x x
e e
dx
e e




m. 24 tan 2xdx n. (1 tan x)dx p. 4
dx
cos x
 q. 4tan xdx 
r. 
x
dx
1 2
 s. 
2
dx
x ln x
 t. 3sin xdx u. 
2
2
ln(2x 4x 1)
dx
4x 1
 

 
Bài 5. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 
a. 2x 3 2xdx b. 
sin 2x
dx
x
 c. 
5
6 3
x
dx
x x 2 
 d. 
31 x
dx
x

 
e. 2 5x (1 x) dx f. 
dx
1 x
 g. 
2sin x tan xdx h. 
(2sin x 3)cosx
dx
2 sin x


i. 
2 2 2 2
sin 2xdx
a sin x b cos x
 (a² + b² > 0) j. 
5
3 2
x
dx
(1 x )
 k. 
1
dx
cosx
ℓ. 
1
dx
sin x cosx
 m. 
1
dx
1 cosx
 n. 
1
dx
1 2cos2x
 o. 
1
dx
3 sin 2x
Bài 6. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần 
a. x 1(2x 3)e dx b. (x 1)cosxdx c. 
2x ln xdx d. x ln(x 2)dx 
e. xxe dx f. 
2 2(3x 1)ln(x 1)dx  g. 
22xsin xdx h. 2
xdx
cos x
i. 22ln(x x 4)dx  j. 
1 x
x ln dx
1 x


 k. 2x sin 2xdx ℓ. 
23 xx e dx 
m. xsin 2xe dx n. sin(ln x)dx o. 
2ln xdx p. 
2
2
x ln(x 1 x )
dx
1 x
 

 
q. 
2
2
ln x
dx
x
 r. x
2
cosx 1
( )e dx
sin x sin x
 s. 
2
2
1 2x
dx
1 x


 
Bài 7. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = 2sin x – 3cos x và f(π/2) = 0 
Bài 8. Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = x + 1/x² và f(–1) = 1/2 
Bài 9. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f″(x) = 12x² + 6x – 4; f(0) = 4; f(1) = 1. 
Bài 10. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = xsin x biết F(0) = 0. 
Bài 11. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 
2
1
1 x
 biết F(0) = 1. 
Bài 12. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 
2
2
x 2x m
x
 
 biết F(x) đạt cực trị tại x = 2 và F(2) = 3. 
PHẦN B: TÍCH PHÂN 
Bài 1. Tích phân có dấu giá trị tuyệt đối 
a. 
1
2
0
| 4x 1 | dx b. 
2
2
0
| 2x 3x | dx c. 
3
2
0
| x 3x 2 | dx  d. 
4
4 3 2
0
x 4x 4x dx  
e. 
2
2
(| x 1 | | x 1 |)dx

   f. 
1
2
3
|1 | dx
x 3



 g. 
0
π
2
1 sin 2xdx

 h. 
0
2
π
4
sin x
dx
1 tan x


 
Bài 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến 
a. 
2
2
0
x 4 x dx b. 
1
4
0
x(2x 5) dx c. 
1
2
0
x
dx
x 3
 d. 
1
2
0
2x 1
dx
x x 1

 
 
e. 
3 2
1
1 x
dx
x

 f. 
π
2
0
xsin x
dx
1 cos x
 g. 
ln 2
2x x
0
e e 1dx h. 
π/3
3
π/4
1
dx
sin x cos x
i. 
π/2
0
1
dx
1 sin x
 j. 
4
3
0
x 8 2xdx k. 
1
15 8
0
x 2x 1dx ℓ. 
2
4
0
4xdx
x 4
m. 
π/2
2
π/6
cosx cot xdx n. 
π/2
3
0
(cos x 1)dx o. 
π
0
2 2cosxdx p. 
π/2 3
0
4sin x
dx
1 cosx
q. 
x
ln 2
x e
0
e dx r. 
7e 3
1
1 ln x ln x
dx
x

 s. 
64
3
1
1
dx
x 2 x
 t. 
7
23
1
2x
dx
1 x 1 
 
Bài 3. Tính tích phân bằng phương pháp đặt hàm lượng giác: 
a. 
4
2
0
16 x dx b. 
3
2
0
1
dx
4 x
 c. 
1
2
0
dx
3 x
 d. 
a
2 2
0
dx
a x
 (Với a ≠ 0) 
e. 
1
2 2
0
x 1 x dx f. 
3
2 2
0
1
dx
x 1 x
 g. 
3
0
2 x
dx
2 x


 h. 
4
2 3
0
1
dx
(16 x )
 
i. 
2
2
1
1
dx
x 2x 2 
 j. 
4
2
3
dx
5 6x x  
 k. 
3
2
2
dx
x 4x 5 
 ℓ. 
2π
2
π
xsin x
dx
1 cos x
 (x = 3π – t) 
m. 
3
2
1
1
dx
x 4x 3
 (x = 
3
2sin t
) n. 
1
2
0
x 2x x dx 
Bài 4. Tính các tích phân bằng phương pháp từng phần 
a. 
1
x
0
(x 1)e dx b. 
1
2
0
x ln(x 1)dx c. 
π/2
0
xsin 2xdx d. 
e
2
1
ln x
dx
x
e. 
1
2
0
x ln(x 1)dx f. 
π/2
2x
0
e cosxdx g. 
π/2
2
0
x sin 2xdx h. 
2e
0
( x ln x)dx 
i. 
1
0
ln(2x 1)dx j. 
3
2
x 1
x ln dx
x 1


 k. 
2
x
1
1 x ln x
e dx
x

 ℓ. 
π/3
2
π/6
ln(sin x)
dx
cos x
m. 
1 2
2
0
xe
dx
(x 1)
 n. 
1
x 1/x
1/2
1
(1 x ).e dx
x
  
Bài 5. Tính các tích phân 
a. 
1
x
0
xe dx b. 
1
2
0
ln (x 1)dx c. 
π/4
2
0
x tan xdx d. 
π/4
0
x
dx
1 cos2x
e. 
1 2
x
0
x
dx
e
 f. 
0
2 2
2
3x ln(4 2x x )dx

  g. 
1 2
2
0
x
dx
1 x
 h. 
1
2 2
0
x 1 x dx 
Bài 6. Tính các tích phân tổng hợp 
1. 
2
2
1
ln(1 x)
dx
x

 2. 
π
3
4
π
6
dx
sin x cos x
 3. 
π
2
0
1 cos x
dx
1 cos x


 4. 
π
2
2 2
0
sin x cos xdx 
5. 
π
4
6
0
dx
cos x
 6. 
π
4
4
0
cos xdx 7. 
π
2
3
0
sin xdx 8. 
π
332
π
3
sin x sin x
cot xdx
sin x

 
9. 
2
π
2
sin x
π
4
e sin 2xdx 10. 
π
32
0
cos x
dx
cos x 1
 11. 
π
2
4
π
4
dx
sin x
 12. 
2
2 2
1
x 4 x dx

 
13. 
π
2
4 4
0
cos 2x(sin x cos x)dx 14. 
π
32
0
4sin x
dx
1 cos x
 15. 
1
3 2
0
x 1 x dx 16. 
1
5 2
0
x 1 x dx 
17. 
1
0
x
dx
2x 1
 18. I = 
π
4
3
0
tan xdx 19. 
2 2x
x
0
e dx
e 1
 20. 
6
2
2 3
dx
x x 9
 
21. 
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)
 22. 
2
3
0
x 1
dx
3x 2


 23. 
2
23
0
(x 3) x 6x 8dx   24. 
1
2 2
3
dx
x 4 x
 
25. 
4
2
2
dx
x 16 x
 26. 
1
0
1
dx
3 2x
 27. 
π
3
0
dx
cos x
 28. 
e 3 2
1
ln x 2 ln x
dx
x

 
29. 30. 
ln 2 x
x
0
1 e
dx
1 e


 31. 
e 2
1
x 1
ln xdx
x

 32. 
ln3
x
0
1
dx
e 1
 33. 
3
0
3 x
dx
x 1


 
34. 
2 3
2
5
dx
x x 4
 35. 
3 2
2
1
x 1
dx
x

 36. 
2
3
1
dx
x 1 x
 37. 
1
2 3
0
(1 x ) dx 
38. 
π
2
0
sin 2x
dx
1 cos x
 39. 
1
2
1
1
dx
1 x 1 x   
 40. 
π
2
3 3
0
( cos x sin x )dx 
41. 
π
2
0
sin x
dx
sin x cos x
 42. 
ln5 2x
x
ln 2
e
dx
e 1
 43. 
3 7
4 8
2
x
dx
1 2x x 
 44. 
π
2
0
sin x sin 3xdx 
45. 
2
0
x
dx
2 x 2 x  
 46. 
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1


 47. 
πe
1
cos(ln x)dx 48. 
1
3
0
x 1 xdx 
49. 
2
1
x
dx
1 x 1 
 50. 
3
2
2
ln(x x)dx 51. 
4
1
dx
x 5 4  
 52. 
π
4
0
ln(1 tan x)dx 
53. 
2π
4
0
sin xdx 54. 
8 3
1
x 1
dx
x

 55. 
3
2
2
1
dx
x 1
 56. 
π
6
2
0
x cos xdx 
57. 
1
2 x
1
1
dx
(x 1)(4 1)

 
 58. 
π
2
0
x sin x
dx
1 cos x
 59. 
2π
4
0
x cos xdx 60. 
1 4
x
1
x
dx
1 2


61. 
π
2x 2
0
e sin xdx 62. 
π
2
0
dx
2cos x sin x 3 
 63. 
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
 64. 
π
4 44
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1

 
65. 
π
2
0
sin x cos x cos x
dx
sin x 2


 66. 
1 3
2 3
0
x
dx
(x 1)
 67. 
4
2
1
(x 1) ln xdx 68. 
1
0
dx
x 1 x 
 
69. 
π
2
0
sin x
dx
cos x sin x
 70. 
π
2
0
1
dx
2 cos x
 71. 
1 3
2
0
x
dx
x 1 x 
 72. 
1 2 x
2
0
x e
dx
(x 2)
73. 
3
6 2
1
dx
x (1 x )
 74. 
π
2
2
0
sin x
dx
cos x 3
 75. 
π
2
4
0
sin 2x
dx
1 cos x
 76. 
π 2
x
π
sin x
dx
3 1


77. 
4
2
1
dx
x (x 1)
 78. 
0
2
π
2
sin 2xdx
(2 sin x)


 79. 
1
3
0
4x
dx
(x 1)
 80. 
π
3
0
sin x tan xdx 
81. 
π
33
0
sin x
dx
cos x
 82. 
π
3
2 2
π
3
dx
sin x 9cos x


 83. 
π
2
π
2
cos x 1
dx
cos x 2



 84. 
π
2
0
1 sin x
dx
1 3cos x


85. 
π
2
0
cos x
dx
sin x cos x 1 
 86. 
π
36
0
sin x sin x
dx
cos 2x

 87. 
3
2
1
dx
4x x
 88. 
2 5
5
1
1 x
dx
x(1 x )


89. 
1 2
2
0
x
dx
x 4
 90. 
π
42
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
 91. 
1
2
0
1 6x 3x dx  92. 
2
2 2
0
dx
(4 x )
93. 
4
x
1
e dx 94. 
2
2
1
(x 4x 3) ln xdx  95. 
3
32
2
0
x
dx
1 x
 96. 
1 5 2
3
0
x 3x
dx
1 x


97. 
π
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
 98. 
π
n2
n n
0
sin x
dx
sin x cos x
 (n là số nguyên dương)