Bài tập Hình học 10: Tích vô hướng của hai vectơ

BÀI TẬP TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai vectơ
Bàì 1: Cho đều, cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau:
a) ĐS: b) ĐS: 0
Bài 2: Cho có BC = a, CA= b, AB = c.
a) Tính theo a, b, c. Từ đó suy ra: . ĐS; .
b) Gọi G là trọng tâm của , tính độ dài AG và cosin của góc nhon tạo bởi AG và BC. 
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a.
a) Tính 
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính . Từ đó suy ra góc của AI và BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các TVH sau:
a) ; b) 
c) d) , M là điểm bất kì trên đường tròn nội tiếp hình vuông.
Bài 5: Cho có BC = 4, CA= 3, AB =2. Tính 
a) . Suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của , tính 
c) Tính 
d) Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính theo ; độ dài của AD
Bài 6: Cho có BC = 6, AB =5 và .
a) Tính 
b) Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.
Bài 7: Cho MM’ là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R. A là điểm cố định và OA = d. AM cắt (O) tại N. CMR có giá trị không phụ thuộc vào M.
Bài 8: Cho 2 vectơ thoả mãn: .
a) Tính b) Xác định k để góc giữa bằng 600.
Bài 9: Cho vuông có cạnh huyền BC = a. Gọi AM là trung tuyến, biết .
Tính độ dài AB và AC.
Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Biết .
a) Tính các cạnh của hình thang 
b) Gọi IJ là đường trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của IJ trên BD.
c) Gọi M là điểm trên AC và . Tính k để BM CD.
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về TVH hay tích độ dài
Bài 1: Cho , G là trọng tâm. CMR
a) 
b) , M bất kỳ. Suy ra đạt GTNN
Bài 2: Cho , M là trung điểm BC và H là trực tâm. CMR
a) B) 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M tuỳ ý. CMR
a) b) c) , O là tâm hcn và M thuộc đường tròn ngoại tiếp hcn.
Bài 4: CMR ABCD là hbh khi và chỉ khi .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có P, Q là trung điểm của 2 đường chéo. CMR
a) 
b) 
Bài 6: Cho hbh ABCD, M tuỳ ý. CMR
a) 
b) M di động trên đường thẳng d, xác định vị trí của M để đạt GTNN
Bài 7: Cho , M tuỳ ý.
a) CMR không phụ thuộc vào vị trí của M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp . CMR 
c) Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn 
d) M di động trên đường tròn ngoại tiếp , tìm vị trí của M để đạt GTNN, GTLN.
Bài 8: Cho , I là trung điểm của trung tuyến AM. CMR 
Bài 9: Cho đều cạnh a, M thuộc đường tròn ngoại tiếp . 
 Tìm GTLN, GTNN của 
Bài 10: Cho , trung tuyễn AM, đường cao AH. CMR
a) ; b) 
c) d) 
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc- Thiết lập điều kiện vuông góc
Bài 1: CMR trong tam giác ba đường cao đồng quy.
Bài 2: Cho cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm .CMR OE CD.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy AB = a, CD = b. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: 
a) b) , với AM là trung tuyến của 
Bài 4: Cho vuông tại A có AB = c, AC = b. Tìm điểm D trên AC sao cho , với AM là trung tuyến của 
Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB= h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: 
a) , với I là trung điểm của AB. b) c) 
d) Trung tuyến BM của vuông góc với trung tuyến CN của 
Bài 6: Cho nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH và CK lần lượt là đường cao của . CMR 
Bài 7: Cho 2 vectơ với . Tìm góc giữa chúng biết rằng .
Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về TVH hay tích độ dài.
Bài 1: Cho , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) k là số cho trước.
b) c) với BC = a.
Bài 2: Cho , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) k là số cho trước. b) 
c) d) 
Bài 3: Cho đoạn AB. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
a) , k cho trước b) c) 
Bài 4: Cho , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) b) 
c) d) 
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 
a) b) 
c) d)