Bài tập đội tuyển Toán 8: Bất đẳng thức

Bài tập đội tuyển: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập 1. Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh:  
Bài tập 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
Bài tập 3. Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1
Chứng minh: 
Bài tập 4. Cho x > y > 0, chứng minh 
Bài tập 5. Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > 0
Bài tập 6. Cho a + b + c = 3. Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 3
Bài tập 7. a) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh: 
HD: Nhân phá ngoặc: VT = 
Ta có: => VT 
b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh: (1)
HD: VT . Vậy (1) ó Tương tự 7a
Bài tập 8. a) Cho a, b > 0 và a + b = 1; chứng minh 
b) Cho a, b > 0 thảo mãn a + b ≤ 1 . Chứng minh 
Bài tập 9. a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1; chứng minh 
b) Cho a; b; c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1. Chứng minh rằng: (
Bài tập 10. Cho x, y, z không âm và . Chứng minh 
Bài tập 11. a) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126. Chứng minh 
b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Chứng minh: 
Bài tập 12. Cho a, b, c > 0, chứng minh: 
Bài tập 13. a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh: xy(x2 + y2) 2
b) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh: 
Bài tập 14. a) Cho x, y dương và x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y 26
b) Cho 4x - 3y = 7 ; chứng minh: 2x2 + 5y2 45 c) cho 2a − 3b = 7. chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ 
Bài 15. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: . Chứng minh abc 8
HD: GT ta có: . Tương tự và nhân từng vế 3 bđt ta có Đpcm
Bài tập 15. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn . Chứng minh 
Bài tập 16. Cho a, b, c >0 chứng minh: 
HD: Áp dụng: a3 + b3 ab(a + b) ta có: 
VT 
Bài 13. 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
--------------------------------HD----------------------------------
BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập 1. Cho a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1; chứng minh:  
HD: GT ta có: a(b + c) + bc = 1 mà b + c = 2 − a  => bc = 1 − a(2 − a) = (a − 1)2
Vì (b + c)2 ≥ 4bc nên (2 − a)2 ≥ 4(a − 1)2 => a(4 − 3a) ≥ 0 => 
Tương tự với b và c.
Bài tập 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
HD: Dễ dàng CM được bdt: (*)
Đặt A = 
Áp dụng (*) ta có: 
Cộng vế với vế : ó => Đpcm
Bài tập 3. Cho 3 số a; b; c dương thoả mãn abc = 1
Chứng minh: 
HD: Áp dụng a2 + b 2 2ab => a2 – ab + b 2 ab 
=> (Do abc = 1 nên c = 1/ab) 
Tương tự cho 2 cái rồi cộng lại
Bài tập 4. Cho x > y > 0, chứng minh 
HD: 
Bài tập 5. Chứng minh: a2014 > 2014(a – 1) với a > 0
HD: Áp dụng cô si cho 2014 số a2014 + 2013 = a2014 + 1 + 1 ++ 1 ≥ 2014a
A2014 ≥ 2014a – 2013 > 2014a – 2014 =2014(a – 1)
Bài tập 6. Cho a + b + c = 3. Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ 3
Áp dụng Cô si: (a4 ; 1) (b4 ; 1) (c4 ; 1)
A + 3 = a4 + 1 + b4 + 1 +c4 + 1 ≥ 2a2 + 2b2 + 2c2
Áp dụng cô si tiếp: 
A + 3 + 6 ≥ 2a2 + 2 + 2b2 + 2 + 2c2 + 2 = 2(a2 + 1) + 2(b2 + 1) + 2(c2 +1) ≥ 4a + 4b + 4c = 12
=> A ≥ 12 - 9 = 3
dau = xay ra a =b =c =1
Bài tập 6. Tìm các số dương x, y thỏa mãn 
HD: 
Vì x, y > 0 nên áp dụng bđt cosi cho 3 số ta có 
=> Dấu “=” xảy ra x = y = 1/3 
Bài tập 7. Cho a, b > 0 và a + b = 1; chứng minh 
Áp dụng: và với x, y dương
Ta có: 
Bài tập 8. Cho a, b > 0 thảo mãn a + b ≤ 1 . Chứng minh 
Bài tập 9. a) Cho a, b, c dương và a + b + c = 1; chứng minh 
HD: Nhân phá ngoặc VT = 
VT = 
Ta có: (1)
Và (2)
Từ (1) và (2) ta có: VT 
b) Cho a; b; c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1. Chứng minh rằng: (
Bài tập 10. Cho x, y, z không âm và . Chứng minh 
HD: Áp dụng 
=>
Bài tập 11. a) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 18126. Chứng minh 
HD: Ta có: 
b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Chứng minh: 
Bài tập 12. Cho a, b, c > 0, chứng minh: 
HD: Ta có: ; ; 
cộng lại: 
	ó ; dấu = khi: a = b = c
Bài tập 13. a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh: xy(x2 + y2) 2
Áp dụng BĐT xy (x + y)2/4
Ta có 2xy(x2 + y2) (2xy + x2 + y2)2/4 = (x + y)4/4 = 16/4 = 4
=> xy(x2 + y2) 4/2 =2
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
b) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 2. Chứng minh: 
HD: 
Mặt khác lại có : Từ 2 điều trên => đpcm.
Bài tập 14. a) Cho x + 2y = 5 chung minh x2 + y2 5
HD: Cách 1 Thay x = 5 - 2y vào ta có (5 – 2y)2 + y2 = .. = (..)2 + 5
Cách 2 : Áp dụng Bunhia cho các cặp số 25 = (x + 2y)2 (x2 + y2)(1 + 4) = 5(x2 + y2)
=>x2 + y2 5
b) Cho x, y dương và x2 + y2 = 52; chứng minh 2x + 3y 26
Áp dụng Bu nhi a với cặp số x,y và 2,3
c) Cho 4x - 3y = 7 ; chứng minh: 2x2 + 5y2 45
Cách 1: Rút x theo y; Cách 2: Dùng Bunhi a
d) cho 3a − 4b = 7. chứng minh 3a2 + 4b2 ≥ 7
e) cho 2a − 3b = 7. chứng minh 3a2 + 5b2 ≥ 725/47
f) cho 3a − 5b = 8. chứng minh 7a2 + 11b2 ≥ 2464/137
Bài tập 15. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn . Chứng minh 
HD: Ta có: (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - ac - bc) 0 
 ac + bc - ab ( a2 + b2 + c2) ac + bc - ab 1 
Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
Bài tập 16. Cho a, b, c >0 chứng minh: 
HD: Áp dụng: a3 + b3 ab(a + b) ta có: 
VT 
Bài 13. 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )