268 Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 1 
PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh 7 là số vụ tỉ. 
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) 
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacụpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 
3. Cho x + y = 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab
2
+
³ . 
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c
a b c
+ + ³ + + 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tỡm giỏ trị lớn nhất của tớch P = ab. 
5. Cho a + b = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 
6. Cho a3 + b3 = 2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 
7. Cho a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
8. Tỡm liờn hệ giữa cỏc số a và b biết rằng : a b a b+ > - 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a 
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 
10. Chứng minh cỏc bất đẳng thức : 
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
11. Tỡm cỏc giỏ trị của x sao cho : 
 a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 
12. Tỡm cỏc số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giỏ trị nào của a và b thỡ M đạt giỏ trị 
nhỏ nhất ? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. 
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giỏ trị nhỏ nhất của P bằng 0. 
15. Chứng minh rằng khụng cú giỏ trị nào của x, y, z thỏa món đẳng thức sau : 
 x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 
16. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 
2
1
A
x 4x 9
=
- +
17. So sỏnh cỏc số thực sau (khụng dựng mỏy tớnh) : 
 a) 7 15 và 7+ b) 17 5 1 và 45+ + 
 c) 
23 2 19
và 27
3
-
 d) 3 2 và 2 3 
18. Hóy viết một số hữu tỉ và một số vụ tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 
19. Giải phương trỡnh : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = - - . 
20. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với cỏc điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 
21. Cho 
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
= + + + + +
- + -
. 
 Hóy so sỏnh S và 
1998
2.
1999
. 
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiờn a khụng phải là số chớnh phương thỡ a là số vụ tỉ. 
23. Cho cỏc số x và y cựng dấu. Chứng minh rằng : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 2 
a) 
x y
2
y x
+ ³ 
b) 
2 2
2 2
x y x y
0
y x y x
ổ ử ổ ử
+ - + ³ỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ
 c) 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x
ổ ử ổ ử ổ ử
+ - + + + ³ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ ố ứ
. 
24. Chứng minh rằng cỏc số sau là số vụ tỉ : 
a) 1 2+ 
b) 
3
m
n
+ với m, n là cỏc số hữu tỉ, n ≠ 0. 
25. Cú hai số vụ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khụng ? 
26. Cho cỏc số x và y khỏc 0. Chứng minh rằng : 
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x y x
ổ ử
+ + ³ +ỗ ữ
ố ứ
. 
27. Cho cỏc số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ³ + + . 
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vụ tỉ là một số vụ tỉ. 
29. Chứng minh cỏc bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) 
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
c) (a1 + a2 + .. + an)
2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2). 
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 
31. Chứng minh rằng : [ ] [ ] [ ]x y x y+ Ê + . 
32. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 
2
1
A
x 6x 17
=
- +
. 
33. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : x y zA
y z x
= + + với x, y, z > 0. 
34. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 
35. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 
36. Xột xem cỏc số a và b cú thể là số vụ tỉ khụng nếu : 
a) ab và 
a
b
 là số vụ tỉ. 
b) a + b và 
a
b
 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : a b c d 2
b c c d d a a b
+ + + ³
+ + + +
39. Chứng minh rằng [ ]2x bằng [ ]2 x hoặc [ ]2 x 1+ 
40. Cho số nguyờn dương a. Xột cỏc số cú dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. 
Chứng minh rằng trong cỏc số đú, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiờn là 96. 
41. Tỡm cỏc giỏ trị của x để cỏc biểu thức sau cú nghĩa : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 3 
2
2 2
1 1 1 2
A= x 3 B C D E x 2x
xx 4x 5 1 x 3x 2x 1
- = = = = + + -
+ - - -- -
2G 3x 1 5x 3 x x 1= - - - + + + 
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2M x 4x 4 x 6x 9= + + + - + . 
 c) Giải phương trỡnh : 2 2 24x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + - + = + + 
43. Giải phương trỡnh : 2 22x 8x 3 x 4x 5 12- - - - = . 
44. Tỡm cỏc giỏ trị của x để cỏc biểu thức sau cú nghĩa : 
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
= + + = = - - =
- - +
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 42x 1 x
= = + - = - - + -
-+ +
45. Giải phương trỡnh : 
2x 3x
0
x 3
-
=
-
46. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x= + . 
47. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x= - + 
48. So sỏnh : a) 
3 1
a 2 3 và b=
2
+
= + b) 5 13 4 3 và 3 1- + - 
 c) n 2 n 1 và n+1 n+ - + - (n là số nguyờn dương) 
49. Với giỏ trị nào của x, biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất : 2 2A 1 1 6x 9x (3x 1)= - - + + - . 
50. Tớnh : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2- + - 
2 2d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + - + = + - + - - (n 
≥ 1) 
51. Rỳt gọn biểu thức : 8 41M
45 4 41 45 4 41
=
+ + -
. 
52. Tỡm cỏc số x, y, z thỏa món đẳng thức : 2 2 2(2x y) (y 2) (x y z) 0- + - + + + = 
53. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2P 25x 20x 4 25x 30x 9= - + + - + . 
54. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
2 2 2 2 2a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0- - - - = - + = - + + - =
4 2 2d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5- - + = + + + - = - + - = - 
2 2 2h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25- + + - + = + + - = - 
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ - - + + - - = + + - = + + -
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 4 
55. Cho hai số thực x và y thỏa món cỏc điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: 
2 2x y
2 2
x y
+
³
-
. 
56. Rỳt gọn cỏc biểu thức : 
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
+ + + + - + - -
+ + + + + + - + + - + +
57. Chứng minh rằng 6 22 3
2 2
+ = + . 
58. Rỳt gọn cỏc biểu thức : 
( ) ( )6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6
a) C b) D
2 3
+ + + - - - + - -
= = . 
59. So sỏnh : 
a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2+ + + - -
60. Cho biểu thức : 2A x x 4x 4= - - + 
a) Tỡm tập xỏc định của biểu thức A. 
b) Rỳt gọn biểu thức A. 
61. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14- - 
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
+ + - +
+ + - +
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + + 
63. Giải bất phương trỡnh : 2x 16x 60 x 6- + < - . 
64. Tỡm x sao cho : 2 2x 3 3 x- + Ê . 
65. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : 
 x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 
66. Tỡm x để biểu thức cú nghĩa: 
2
21 16 xa) A b) B x 8x 8
2x 1x 2x 1
-
= = + - +
+- -
. 
67. Cho biểu thức : 
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
+ - - -
= -
- - + -
. 
a) Tỡm giỏ trị của x để biểu thức A cú nghĩa. 
b) Rỳt gọn biểu thức A. c) Tỡm giỏ trị của x để A < 2. 
68. Tỡm 20 chữ số thập phõn đầu tiờn của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9) 
69. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 
70. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 
71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1+ + (n là số nguyờn dương), số nào lớn hơn ? 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 5 
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3= + + - . Tớnh giỏ trị của A theo hai cỏch. 
73. Tớnh : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + - - + - + + 
74. Chứng minh cỏc số sau là số vụ tỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ - + 
75. Hóy so sỏnh hai số : a 3 3 3 và b=2 2 1= - - ; 5 12 5 và
2
+
+ 
76. So sỏnh 4 7 4 7 2+ - - - và số 0. 
77. Rỳt gọn biểu thức : 2 3 6 8 4Q
2 3 4
+ + + +
=
+ +
. 
78. Cho P 14 40 56 140= + + + . Hóy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 
79. Tớnh giỏ trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1- + - = . 
80. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x= - + + . 
81. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : ( )2M a b= + với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 
82. CMR trong cỏc số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ - + - + - + - cú ớt 
nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 
83. Rỳt gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18= + + + . 
84. Cho x y z xy yz zx+ + = + + , trong đú x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n. 
86. Chứng minh : ( )2a b 2 2(a b) ab+ ³ + (a, b ≥ 0). 
87. Chứng minh rằng nếu cỏc đoạn thẳng cú độ dài a, b, c lập được thành một tam giỏc thỡ cỏc 
đoạn thẳng cú độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giỏc. 
88. Rỳt gọn : a) 
2ab b a
A
b b
-
= - b) 
2(x 2) 8x
B
2
x
x
+ -
=
-
. 
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều cú : 
2
2
a 2
2
a 1
+
³
+
. Khi nào cú đẳng thức ? 
90. Tớnh : A 3 5 3 5= + + - bằng hai cỏch. 
91. So sỏnh : a) 
3 7 5 2
và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5
+
- - 
92. Tớnh : 
2 3 2 3
P
2 2 3 2 2 3
+ -
= +
+ + - -
. 
93. Giải phương trỡnh : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + - + - - - = . 
94. Chứng minh rằng ta luụn cú : n
1.3.5...(2n 1) 1
P
2.4.6...2n 2n 1
-
= <
+
 ; "n ẻ Z+ 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 6 
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thỡ 
2 2a b
a b
b a
+ Ê + . 
96. Rỳt gọn biểu thức : A = 
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
. 1
x 1x 4(x 1)
- - + + - ổ ử-ỗ ữ-ố ứ- -
. 
97. Chứng minh cỏc đẳng thức sau : a b b a 1a) : a b
ab a b
+
= -
-
 (a, b > 0 ; a ≠ b) 
14 7 15 5 1 a a a a
b) : 2 c) 1 1 1 a
1 2 1 3 7 5 a 1 a 1
ổ ử ổ ửổ ử- - + -
+ = - + - = -ỗ ữ ỗ ữỗ ữ
- - - + -ố ứ ố ứố ứ
 (a > 
0). 
98. Tớnh : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48- - - + - + . 
 c) 7 48 28 16 3 . 7 48
ổ ử+ - - +ỗ ữ
ố ứ
. 
99. So sỏnh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7+ + + 
16
c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2
+ 
100. Cho hằng đẳng thức : 
2 2a a b a a b
a b
2 2
+ - - -
± = ± (a, b > 0 và a2 – b > 0). 
Áp dụng kết quả để rỳt gọn : 
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
+ - - +
+ -
+ + - - - +
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
+ - -
- -
101. Xỏc định giỏ trị cỏc biểu thức sau : 
2 2
2 2
xy x 1. y 1
a) A
xy x 1. y 1
- - -
=
+ - -
với 1 1 1 1x a , y b
2 a 2 b
ổ ử ổ ử= + = +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
(a > 1 ; b > 1) 
a bx a bx
b) B
a bx a bx
+ + -
=
+ - -
 với ( )2
2am
x , m 1
b 1 m
= <
+
. 
102. Cho biểu thức 
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
- -
=
- +
a) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để P(x) xỏc định. Rỳt gọn P(x). 
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thỡ P(x).P(- x) < 0. 
103. Cho biểu thức 
2
x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
A
4 4
1
x x
+ - - + + + -
=
- +
. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 7 
a) Rỳt gọn biểu thức A. 
b) Tỡm cỏc số nguyờn x để biểu thức A là một số nguyờn. 
104. Tỡm giỏ trị lớn nhất (nếu cú) hoặc giỏ trị nhỏ nhất (nếu cú) của cỏc biểu thức sau: 
2a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4- - > + - - - 
2 2 1e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i)
2x x 3
- - - + - - + +
- +
105. Rỳt gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1= + - - - - , bằng ba cỏch ? 
106. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ - + 
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5+ + + - + - - + . 
107. Chứng minh cỏc hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ b 
a) ( )2a b a b 2 a a b+ ± - = ± - 
b) 
2 2a a b a a b
a b
2 2
+ - - -
± = ± 
108. Rỳt gọn biểu thức : A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + - + - - 
109. Tỡm x và y sao cho : x y 2 x y 2+ - = + - 
110. Chứng minh bất đẳng thức : ( ) ( )2 22 2 2 2a b c d a c b d+ + + ³ + + + . 
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 
2 2 2a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ + ³
+ + +
. 
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : 
a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + Ê . 
113. CM : ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ³ + + với a, b, c, d > 0. 
114. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : A x x= + . 
115. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : (x a)(x b)A
x
+ +
= . 
116. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 
117. Tỡm giỏ trị lớn nhất của A = x + 2 x- . 
118. Giải phương trỡnh : x 1 5x 1 3x 2- - - = - 
119. Giải phương trỡnh : x 2 x 1 x 2 x 1 2+ - + - - = 
120. Giải phương trỡnh : 2 23x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 
121. Giải phương trỡnh : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = - - 
122. Chứng minh cỏc số sau là số vụ tỉ : 3 2 ; 2 2 3- + 
123. Chứng minh x 2 4 x 2- + - Ê . 
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương phỏp hỡnh học : 
 2 2 2 2a b . b c b(a c)+ + ³ + với a, b, c > 0. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 8 
125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd+ + ³ + với a, b, c, d > 0. 
126. Chứng minh rằng nếu cỏc đoạn thẳng cú độ dài a, b, c lập được thành một tam giỏc thỡ cỏc 
đoạn thẳng cú độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giỏc. 
127. Chứng minh 
2(a b) a b
a b b a
2 4
+ +
+ ³ + với a, b ≥ 0. 
128. Chứng minh a b c 2
b c a c a b
+ + >
+ + +
 với a, b, c > 0. 
129. Cho 2 2x 1 y y 1 x 1- + - = . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 
130. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1= - - + + - 
131. Tỡm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x= - + + . 
132. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 2A x 1 x 2x 5= + + - + 
133. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 2A x 4x 12 x 2x 3= - + + - - + + . 
134. Tỡm GTNN, GTLN của : ( )2 2a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + - = + - 
135. Tỡm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa món a b 1
x y
+ = (a và b là hằng số dương). 
136. Tỡm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. 
137. Tỡm GTNN của xy yz zxA
z x y
= + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 
138. Tỡm GTNN của 
2 2 2x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
 biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1+ + = . 
139. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : a) ( )2A a b= + với a, b > 0 , a + b ≤ 1 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4B a b a c a d b c b d c d= + + + + + + + + + + + 
 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 
140. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. 
141. Tỡm GTNN của b cA
c d a b
= +
+ +
 với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. 
142. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
2 2a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1- - + = - = - + - + =
d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2- - + = - - - - = + - + - - =
 h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1+ - - + + - - = + + - = 
2 2 2k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2- - = - + + + - = +
2 2m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5+ = - - + + + = + + + 
( )( )2o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x- + + + - - + = - 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 9 
p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2+ + + + + - + = + + . 
2 2q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11- + + - = + - 
143. Rỳt gọn biểu thức : ( )( )A 2 2 5 3 2 18 20 2 2= - + - + . 
144. Chứng minh rằng, "n ẻ Z+ , ta luụn cú : ( )1 1 11 .... 2 n 1 1
2 3 n
+ + + + > + - . 
145. Trục căn thức ở mẫu : 1 1a) b)
1 2 5 x x 1+ + + +
. 
146. Tớnh : 
a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5- - - + - + - - -
147. Cho ( )( )a 3 5. 3 5 10 2= - + - . Chứng minh rằng a là số tự nhiờn. 
148. Cho 
3 2 2 3 2 2
b
17 12 2 17 12 2
- +
= -
- +
. b cú phải là số tự nhiờn khụng ? 
149. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3
5 x 5 x x 3 x 3
c) 2 d) x x 5 5
5 x x 3
- - + - = - = + -
- - + - -
= + - =
- + -
150. Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21= - + + - + - - 
151. Rỳt gọn : 1 1 1 1A ...
1 2 2 3 3 4 n 1 n
= + + + +
+ + + - +
. 
152. Cho biểu thức : 1 1 1 1P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
= - + - +
- - - - +
 a) Rỳt gọn P. b) P cú phải là số hữu tỉ khụng ? 
153. Tớnh : 
1 1 1 1
A ...
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
= + + + +
+ + + +
. 
154. Chứng minh : 1 1 11 ... n
2 3 n
+ + + + > . 
155. Cho a 17 1= - . Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000. 
156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3- - < - - - (a ≥ 3) 
157. Chứng minh : 2 1x x 0
2
- + > (x ≥ 0) 
158. Tỡm giỏ trị lớn nhất của S x 1 y 2= - + - , biết x + y = 4. 
159. Tớnh giỏ trị của biểu thức sau với 3 1 2a 1 2aa : A
4 1 1 2a 1 1 2a
+ -
= = +
+ + - -
. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 10 
160. Chứng minh cỏc đẳng thức sau : 
( )( ) ( )a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1+ - - = + = + 
( )( ) ( )2c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2
2
- + - = + = + - + = -
161. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau : 
5 5 5 5
a) 27 6 48 b) 10 0
5 5 5 5
+ -
+ > + - <
- +
5 1 5 1 1
c) 3 4 2 0,2 1,01 0
31 5 3 1 3 5
ổ ửổ ử+ -
+ - + - >ỗ ữỗ ữ
+ + + -ố ứố ứ
2 3 1 2 3 3 3 1
d) 3 2 0
2 6 2 6 2 6 2 6 2
ổ ử+ - -
+ + - + - >ỗ ữ
+ - +ố ứ
e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1+ - + - - > + - > - 
( ) ( ) 2 2 3 2 2h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,84
+ + -
+ + - + + < < 
162. Chứng minh rằng : 12 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
+ - < < - - . Từ đú suy ra: 
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
< + + + + < 
163. Trục căn thức ở mẫu : 
3 3
2 3 4 3
a) b)
2 3 6 8 4 2 2 4
+ +
+ + + + + +
. 
164. Cho 
3 2 3 2
x và y=
3 2 3 2
+ -
=
- +
. Tớnh A = 5x2 + 6xy + 5y2. 
165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2002 2003
2003 2002
+ > + . 
166. Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
2 2x 3xy y
A
x y 2
- +
=
+ +
 với x 3 5 và y 3 5= + = - . 
167. Giải phương trỡnh : 26x 3 3 2 x x
x 1 x
-
= + -
- -
. 
168. Giải bất cỏc pt : 
a)
1
3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4
4
+ ³ - ³ + + ³ . 
169. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : 
a 1
a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a
a
-
= - - - = - + - +
2 2 2
2 2 2
x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x
c) C d) D
2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x
+ + - + + + -
= =
- + - - + + -
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 11 
1 1 1 1
E ...
1 2 2 3 3 4 24 25
= - + - -
- - - -
 170. Tỡm GTNN và GTLN của biểu thức 
2
1
A
2 3 x
=
- -
. 
 171. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 1A
1 x x
= +
-
 với 0 < x < 1. 
 172. Tỡm GTLN của : a) A x 1 y 2= - + - biết x + y = 4 ; 
 b) 
y 2x 1
B
x y
--
= + 
 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997= - = - . So sỏnh a với b, số nào lớn hơn ? 
 174. Tỡm GTNN, GTLN của : 
2
2
1
a) A b) B x 2x 4
5 2 6 x
= = - + +
+ -
. 
 175. Tỡm giỏ trị lớn nhất của 2A x 1 x= - . 
 176. Tỡm giỏ trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1. 
 177. Tỡm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1. 
 178. Tỡm GTNN, GTLN của A x x y y= + biết x y 1+ = . 
 179. Giải phương trỡnh : 2 x 11 x x 3x 2 (x 2) 3
x 2
-
- + - + + - =
-
. 
 180. Giải phương trỡnh : 2 2x 2x 9 6 4x 2x+ - = + + . 
 181. CMR, "n ẻ Z+ , ta cú : 
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
+ + + + <
+
. 
 182. Cho 
1 1 1 1
A ...
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
= + + + + . Hóy so sỏnh A và 1,999. 
 183. Cho 3 số x, y và x y+ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số 
hữu tỉ 
 184. Cho 
3 2
a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2
3 2
+
= - = + + -
-
. CMR : a, b là cỏc số hữu tỉ. 
 185. Rỳt gọn biểu thức : 2 a a 2 a a a a 1P .
a 1a 2 a 1 a
ổ ử+ - + - -
= -ỗ ữ
-+ +ố ứ
 (a >0 ; a ≠ 1) 
186. Chứng minh : a 1 a 1 14 a a 4a
a 1 a 1 a
ổ ử+ - ổ ử- + - =ỗ ữỗ ữ- + ố ứố ứ
. (a > 0 ; a ≠ 1) 
187. Rỳt gọn : ( )
2
x 2 8x
2
x
x
+ -
-
 (0 < x < 2) 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 12 
188. Rỳt gọn : b ab a b a ba :
a b ab b ab a ab
ổ ử- +ổ ử+ + -ỗ ữ ỗ ữ+ + -ố ứố ứ
189. Giải bất phương trỡnh : ( )
2
2 2
2 2
5a
2 x x a
x a
+ + Ê
+
 (a ≠ 0) 
190. Cho ( )2 1 a a 1 a aA 1 a : a a 1
1 a 1 a
ộ ựổ ửổ ử- +
= - + - +ờ ỳỗ ữỗ ữ
- +ờ ỳố ứố ứở ỷ
a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tớnh giỏ trị của A với a = 9. 
c) Với giỏ trị nào của a thỡ | A | = A. 
191. Cho biểu thức : a b 1 a b b bB
a ab 2 ab a ab a ab
ổ ử+ - -
= + +ỗ ữ
+ - +ố ứ
. 
a) Rỳt gọ