11 sai lầm khi tính tích phân

11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3 
11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN 
Bài 1. Tính tích phân 
4
2
0
1I x dx . 
Lời giải sai: Đặt sin cosx t dx tdt . 
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2 1
1 sin .cos cos
2 8 4
t
I t tdx tdt . 
Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận. 
Lời giải đúng: sin cosx t dx tdt . Khi 
arcsin
4 4
0 0
x t
x t
. 
arcsin arcsin arcsin
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2
1 sin .cos cos
2
t
I t tdx tdt
1 1
arcsin sin 2arcsin
2 4 4 4
. 
Bài 2. Tính tích phân 
1
50 2 1
dx
I
x
. 
Lời giải sai: Đặt 2 1t x . Khi 
1 3
0 1
x t
x t
. 
33 4
5 4
1 1
1 1 20
1
4 4 813
dt t
I
t
. 
Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân. 
Lời giải đúng: Đặt 2 1 2t x dt dx . 
1 3
0 1
x t
x t
. 
33 4
5 4
1 1
1 1 10
1
8 8 812 3
dt t
I
t
. 
Bài 3. Tính tích phân 
2
0
xI xe dx . 
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4 
Lời giải sai: Đặt 
' 1
' x x
u x u
v e v e
. 
2
2
2
0
0
1x xI xe e dx e . 
Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần.
Lời giải đúng: Đặt 
x x
u x du dx
dv e dx v e
. 
2
2
2
0
0
1x xI xe e dx e . 
Bài 4. Cho n N ; chứng minh 
2
0
sin sin 0I x nx dx . 
Lời giải sai: Xét hàm số sin sinf x x x nx trên 0;2 . 
Ta có f x là hàm liên tục trên 0;2 và sin sinf x x nx f x . 
Vậy f x là hàm lẻ, suy ra 0I . 
Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số f x là hàm lẻ, liên tục trên 
;a a thì 0
a
a
f x dx ”. 
Lời giải đúng: Đặt x y dx dy . 
2
0
sin sin sin sinI x nx dx y ny n dy
1 sin sin
n
ny y dy . 
Mặt khác ta có: sin sing y ny y xác định trên ; là hàm liên tục và 
sin sin sin sing y ny y ny y g y . 
Suy ra g y là hàm lẻ.
Vậy 0I . 
Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0; ; hãy so sánh 
0
sinI xf x dx và 
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 5 
0
sinJ f x dx . 
Lời giải sai: Đặt 
sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
. 
0
0
cos cosI xf x f x dx . 
Do f liên tục trên 0; , suy ra 
0
cos 0 0 cosf f I f x dx (1). 
Mà 
0
sin
2
J f x dx (2). 
Từ (1) và (2) ta có I J . 
Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
Lời giải đúng: Đặt x t dx dt . 
0
0 0
sin sin sinI t f t dt f x dx xf x dx
0 0
2 sin sin
2
I f x dx I f x dx . 
Vậy ta có I J . 
Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên ;a b ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm 
;C a b sao cho 
c b
a c
f x f c dx f c f x dx . 
Lời giải sai: Do f liên tục trên ;a b , suy ra f x f c trên ,a c bằng 
f x f c trên ,b c , vậy ta có 
c b
c
b
a c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx . 
Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai. 
Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít 
nhất một điểm ;C a b sao cho 
b b
a a
f x dx f c b a f c dx
Suy ra 0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx . 
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 6 
Hay ta có 
c b
a c
f x f c dx f c f x dx (đpcm). 
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
2
0; 1; 4
9
y x x
y x
. 
Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 
44
2 2
1 1
1
9 9 7
3
S x dx x x . 
Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi 
“đvdt – đơn vị diện tích”. 
Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 
3 3 4
2 2 2
1 1 3
9 9 9S x dx x dx x dx
3 4
3 3
1 3
1 1 65 38
9 9 9
3 3 2 3
x x x x (đvdt). 
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
2
0; 1
1; 0
y y
y x x
. 
Lời giải sai: 2 1 1y x y x
0 1y x ; 1 2y x . 
Diện tích hình phẳng là: 
22 3
2
1 1
2 2
1 1
3 3
S x dx x (đvdt). 
Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích. 
Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: 
1 2
S S S
Ta có 2
1
1 1S (đvdt). 
22 3
2
2
1 1
2 1
1 1 1
3 3
S x dx x x
1 4
1
3 3
S (đvdt). 
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 7 
Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi 
2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C
y x x C
x x
. 
Lời giải sai: 
1 2
2;1C C . 
Vậy diện tích của hình giới hạn là: 
5
2 2
2 2
3 2
2
1 3S x dx x dx
5
2
23 3
3
2
2
1 1
1 3
3 3
x x
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
(đvdt). 
Lý do sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn.
Lời giải đúng: 
1 2
2;1C C . 
Diện tích hình giới hạn là: 
1 2
S S S . 
2
2 2
1
3
2
3 1S x x dx
2
2
2
3
23
2
1
4 8 2 8
2
x dx x x
5
2
2 2
2
2
1 3S x x dx
5
52
2 2
2
2
1
4 8 2 8
2
x dx x x
1 2
1 1
1
2 2
S S S (đvdt). 
Bài 10. Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn 
22 2x y b a ;(0 a b ) 
quay quanh trục Ox . 
Lời giải sai: Phương trình đường tròn 
22 2:C x y b a hay 
2 2 2y b a x
2 2
1
2 2
2
y b a x C
y b a x C
 ( x a ). 
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 8 
Vậy thể tích của hình xuyến là: 
2 2
2 2 2 2 22
a
a
V b a x b a x dx a b (đvtt). 
Lý do sai: Sai công thức tính thể tích: 2 2
1 2
b
a
V y y dx mà là 
2 2
2
b
a
a
V y y dx . 
Lời giải đúng:
2 2
2 2 2 2 22
a
a
V b a x b a x dx a b . 
Bài 11. Tính thể tích hình giới hạn bởi 
2
1
2
y x
x
x
. 
Lời giải sai: 
22 5
4
1 1
31
5 5
x
V x dx (đvtt). 
Lý do sai: Đã sử dụng công thức 2
b
a
V y dx . 
Lời giải đúng: 
2
2
1
15
2 .
2
V x x dx (đvtt).